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Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei neren als normierten Räumen benötigt man bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will man etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt man die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g 0 f) (x) = = Dg(t(x)) 0 Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die Form D(g 0 f) (x) = (y 0 (Dt, Dg 0 t» (x). Der Nachweis der Kettenregel zweiter Ordnung erfolgt dann mittels der Ketten regel erster Ordnung, wobei man die Voraussetzungen so einrichtet, daß (Dt, Dg 0 t> in x und y in (Dt, Dg 0 t> (x) differenzierbar ist. Die Forderung, daß y differenzierbar ist, erweist sich als sehr einschränkend. Verlangt man, daß die Differenzierbarkeit die Stetigkeit nach sich zieht, so ist diese Forderung in Bezug auf Vektorraumtopologien von L(X, Y), L(Y, Z) und L(X, Z) im all gemeinen nicht erfüllt, zumindest nicht, wenn man noch annimmt, daß die Vektorraumtopologien so beschaffen sind, daß im Falle X = R oder C die natür lichen Zuordnungen zwischen Y und L(X, Y) und zwischen Z und L(X, Z) Iso morphien sind.
- Table of contents (4 chapters)
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Limitierte Algebra
Pages 1-281
-
Mengenkonvergenz
Pages 282-316
-
Abbildungsräume
Pages 317-460
-
Differentialrechnung
Pages 461-595
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Table of contents (4 chapters)
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Bibliographic Information
- Bibliographic Information
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- Book Title
- Grundstrukturen der Analysis II
- Authors
-
- W. Gähler
- Series Title
- Mathematische Reihe
- Series Volume
- 61
- Copyright
- 1978
- Publisher
- Birkhäuser Basel
- Copyright Holder
- Springer Basel AG
- eBook ISBN
- 978-3-0348-5286-9
- DOI
- 10.1007/978-3-0348-5286-9
- Softcover ISBN
- 978-3-0348-5287-6
- Edition Number
- 1
- Number of Pages
- VIII, 623
- Topics
