Integration und Maß

1. Front Matter

   Pages I-XI

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2. Integrationstheorie

   1. Das elementare Integral auf den Treppenfunktionen und andere Daniell-Integrale

      • Michael Leinert

      Pages 1-8

   2. Fortsetzung eines Daniell-Integrals

      • Michael Leinert

      Pages 9-31

3. Maßtheorie

   1. Mengensysteme, meßbare Abbildungen und Maße

      • Michael Leinert

      Pages 32-46

   2. Zusammenhang Maß-Integration, Satz von Stone

      • Michael Leinert

      Pages 47-58

   3. Das fortsetzende Maß µ̄ und seine Eigenschaften

      • Michael Leinert

      Pages 59-69

   4. Klassische Integration bezüglich eines Maßes

      • Michael Leinert

      Pages 70-79

   5. Signierte Maße

      • Michael Leinert

      Pages 80-87

   6. Absolute Stetigkeit

      • Michael Leinert

      Pages 88-95

   7. ℒp-Räume

      • Michael Leinert

      Pages 96-108

   8. Konvergenz meßbarer Funktionen

      • Michael Leinert

      Pages 109-118

   9. Produktmaße

      • Michael Leinert

      Pages 119-133

   10. Lebesgue-Stieltjes-Maße

       • Michael Leinert

       Pages 134-145

   11. Boreische Maße

       • Michael Leinert

       Pages 146-178

   12. τ— stetige Integration

       • Michael Leinert

       Pages 179-190

4. Back Matter

   Pages 191-208

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Dieses Buch soll in die Integrations- und Maßtheorie einführen. Wie ich hoffe, eignet es sich für Studenten zum Gebrauch neben der Vorlesung oder zum Eigenstudium, am besten mit Papier und Bleistift, aber auch für fortgeschrittenere Mathematiker zum Nachschlagen. Vorausgesetzt werden die mathematischen Grundvorlesungen. Gelegentlich benutzte topologische oder funktionalanalytische Tatsachen sind im Anhang zusammen­ gestellt. In 3.28 werden Ordinalzahlen benutzt, da ich keinen anderen Beweis der dortigen Resultate kenne. Ausgangspunkt der Betrachtungen ist die Integrationstheorie, die auch innerhalb der Maßtheorie immer wieder als Hilfsmittel benutzt wird, was der größeren Durchsichtigkeit und Einfachheit der Darstellung dienen soll. Die Integrationstheorie ist so angelegt, daß vieles auch ohne die Voraussetzung der Verbandseigenschaft gültig bleibt, die Theorie also auch auf Beispiele anwendbar ist, die mit der üblich fOlmulierten Integrationstheorie nicht erfaßt werden können. Jedes Kapitel schließt mit einem Abschnitt "Übungen, Beispiele, Ergänzungen", der als integraler Bestandteil des Ganzen zu sehen ist. Es schien mir manchmal zweckmäßig, der natürlichen Entwicklung gegenüber dem systematischen Autbau den Vorzug zu geben, z. B. indem ein Begriff erst definiert wird, wenn er gebraucht wird, oder indem ein konkretes Beispiel Anlaß zu einer Definition gibt. In einer Vorlesung kann man in dieser Richtung wesentlich weiter gehen, z. B. indem man die Integrationstheorie am Beispiel des elementaren Integrals auf den Treppenfunktionen 1 durchführt, also Lebesgue-L und das Lebesgue-Integral konstruielt und danach feststellt, daß das betrachtete Beispiel schon den allgemeinen Fall enthält, da die gesamte Konstruktion einschließlich der benutztenBeweise auch im allgemeinen Fall gültig bleibt.

• Funktion
• Integrationstheorie
• Maßtheorie
• Stetigkeit

• Institut für Angewandte Mathematik, Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, Heidelberg, Deutschland

  Michael Leinert

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