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Leitet den Spektralsatz für bestimmte Klassen von Operatoren her
Stellt bisher wenig bekannte Resultate dar und bietet neue Ansätze in der Spektraltheorie
Führt in die Störungstheorie ein
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About this book
In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra über die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly über monotone Funktionen bereitgestellt.
Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufwändige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte können hierbei nicht durch Variationsmethoden gewonnen werden.
Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem Schrödingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator für Minimalflächen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt.Am Ende dieses Buches geben wir eine Einführung in die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische Abhängigkeit der Spektralschar vom Störungsparameter nach.
Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere für das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.
Authors and Affiliations
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Fachgebiet Mathematik, BTU Cottbus-Senftenberg, Cottbus, Germany
Friedrich Sauvigny
About the author
Bibliographic Information
Book Title: Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren
Authors: Friedrich Sauvigny
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-58069-1
Publisher: Springer Spektrum Berlin, Heidelberg
eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language)
Copyright Information: Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2019
Softcover ISBN: 978-3-662-58068-4Published: 31 October 2018
eBook ISBN: 978-3-662-58069-1Published: 24 October 2018
Edition Number: 1
Number of Pages: XII, 260
Topics: Operator Theory