Die innere Geometrie der metrischen Räume

1. Front Matter

   Pages II-XV

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2. Metrische Geometrie und Topologie

   • Willi Rinow

   Pages 1-58

3. Stetige Abbildungen

   • Willi Rinow

   Pages 58-99

4. Die innere Metrik

   • Willi Rinow

   Pages 99-140

5. Theorie der Kürzesten

   • Willi Rinow

   Pages 140-186

6. Fundamentalgruppe und Überlagerungsräume

   • Willi Rinow

   Pages 186-236

7. Existenzsätze für geodätische Kurven

   • Willi Rinow

   Pages 236-289

8. Theorie der Krümmung

   • Willi Rinow

   Pages 289-354

9. Das Clifford-Kleinsche Raumformenproblem

   • Willi Rinow

   Pages 354-413

10. Räume der Krümmung ≦ 0

    • Willi Rinow

    Pages 413-490

11. Sphäroide und Räume vom elliptischen Typ

    • Willi Rinow

    Pages 490-509

12. Back Matter

    Pages 509-520

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Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr­ dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all­ gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be­ nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits­ voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.

• Geometrie
• Invariante
• Mannigfaltigkeit
• Metrischer Raum
• Räume
• Topologie

• Ernst Moritz Arndt-Universität, Greifswald, Germany

  Willi Rinow

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