Funktionentheorie

Das vorliegende Lehrbuch möchte seine Leser auf knappem Raum nachhaltig für die Eleganz und Geschlossenheit der Funktionentheorie und ihre Wirkungsmächtigkeit begeistern. Funktionentheoretische, d.h. komplex-analytische Methoden leisten nämlich etwas fast Magisches:   

- kompakte Darstellung von Formeln

- vertieftes Verständnis von Funktionsverhalten

- einfache Berechnung von Grenzwerten

- eleganter Zugang zu Geometrie und Topologie der Ebene  

Die Analysis im Komplexen macht vieles also tatsächlich sehr viel unaufwändiger als im Reellen: „Funktionentheorie spart Rechnungen“.  

Das Buch eignet sich für Studierende der Mathematik ab dem zweiten Studienjahr und kommt mit einem Minimum an topologischen Begriffen aus. Der äußerst ökonomische Aufbau des Stoffs betont Konzepte und Ideen; konsequent wird daher begrifflichen Beweisen gegenüber solchen mit vielen Rechnungen der Vorzug gegeben. Zahlreiche interessante Beispiele, Anwendungen und 170 Übungsaufgaben beleuchten die Kraft der eingeführten Methoden. Trotz der Kürze des Buchs reicht der Stoff bis zum Riemann'schen Abbildungssatz.

• Residuenkalkül
• Riemann'scher Abbildungssatz
• biholomorphe Abbildungen
• globaler Cauchy'scher Integralsatz
• holomorphe Funktionen

„Ich war bis jetzt davon überzeugt, dass ein Buch zur Funktionentheorie ein gewisses Volumen notwendig braucht. Ich lag damit falsch!
(...)
Wodurch, oder besser: woraus, gewinnt denn nun dieses Buch seine erstaunliche Kürze? Bornemann hat sich auf begriffliche Beweise konzentriert und ihnen Vorzug vor langen Rechnungen gegeben. Bei der globalen Theorie argumentiert er mit Homologie an Stelle von Homotopie, was ebenfalls Platz spart, und ausufernde Diskussionen über Topologie werden durch strenge Beschränkung auf wenige Grundbegriffe verhindert. Mit diesen Maßnahmen ist es dem Autor gelungen, Beweise nicht länger als eine Druckseite werden zu lassen. Dabei habe ich die Beweise in jedem Fall verständlich gefunden, also für Drittsemester durchaus geeignet.
(...)
Ich kann dieses kleine Buch nur wärmstens empfehlen. Es ist ein Schmuckstück in der modernen deutschen Lehrbuchliteratur.“

Thomas Sonar (Mathematische Semesterberichte)

Aus den Rezensionen:

“... das Schriftbild ist dadurch übersichtlich und der Text gut lesbar ... kleine Buch nur wärmstens empfehlen. Es ist ein Schmuckstück in der modernen deutschen Lehrbuchliteratur.“ (Thomas Sonar, in : Mathematische Semesterbereichte, 2013, Vol.60)

• Zentrum Mathematik — M3, Technische Universität München, München, Deutschland

  Folkmar Bornemann

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