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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Kapitel 12-18

12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Brücken zwischen Vektorräumen 

12.1 Definition und Beispiele.
12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen.
12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel.
12.4 Darstellungsmatrizen.
12.5 Das Produkt von Matrizen.
12.6 Das Invertieren von Matrizen.
12.7 Elementarmatrizen.
12.8 Basistransformation.
12.9 Der Dualraum.

13 Determinanten - Kenngrößen von Matrizen 

13.1 Die Definition der Determinante.
13.2 Determinanten von Endomorphismen.
13.3 Berechnung der Determinante.
13.4 Anwendungen der Determinante.

14 Normalformen -Diagonalisieren und Triangulieren 

14.1 Diagonalisierbarkeit.
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.
14.3 Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren.
14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit.
14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen.
14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen.
14.7 Die Jordan-Normalform.
14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis.

15 Differenzialrechnung die Linearisierung von Funktionen 

15.1 Die Ableitung.
15.2 Differenziationsregeln.
15.3 Der Mittelwertsatz.
15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen.
15.5 Taylorreihen.

16 Integrale - von lokal zu global  

16.1 Integration von Treppenfunktionen.
16.2 Das Lebesgue–Integral.
16.3 Stammfunktionen.
16.4 Integrationstechniken.
16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen.
16.6 Parameterabhängige Integrale.
16.7 Weitere Integrationsbegriffe.

17 Euklidische und unitäre Vektorräume – orthogonales Diagonalisieren 

17.1 Euklidische Vektorräume.
17.2 Norm, Winkel, Orthogonalität.
17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente.
17.4 Unitäre Vektorräume.
17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen.
17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen.
17.7 Normale Endomorphismen

18 Quadriken – vielseitig nutzbare Punktmengen 

18.1 Symmetrische Bilinearformen.
18.2 Hermitesche Sesquilinearformen.
18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation.
18.4 Die Singulärwertzerlegung.
18.5 Die Pseudoinverse einer linearen.

Thema - Kapitel 12.8 Ähnliche Matrizen 

Frage - Je zwei Darstellungsmatrizen einer linearen Abbildung sind einander ähnlich. Das wurde bewiesen und ist mir soweit auch verständlich. Allerdings habe ich noch meine Probleme mit dem Satz der dann folgt: "Andererseits stellen je zwei ähnliche n×n-Matrizen über K ein und dieselbe lineare Abbildung dar. Ich bekomme es einfach nicht hin, für mich zu beweisen. Könnten Sie mir vielleicht auf die Sprünge helfen, wie dieser Beweis aussehen könnte? Vielen Dank.

Antwort: Sie beziehen sich auf S.456 links unten. Dass zwei ähnliche nxn-Matrizen ein und dieselbe Abbildung darstellen, sehen Sie in der gelben Merkebox auf S.455 (in Zusammenspiel mit der gelben Merkebox auf S.456). Es gibt hier jeweils nur eine lineare Abbildung \phi (des Vektorraums V in den Vektorraum V). Die beiden betrachteten (und nach S.455 links unten per definitionem zueinander ähnliche) Matrizen entstehen erst nach Auswahl einer Basis in dem Vektorraum.
Zu je zwei ähnlichen Matrizen lässt sich entsprechend der Definition S.455 eine invertierbare Matrix S finden. Jede invertierbare Matrix kann als eine Basistransformationsmatrix interpretiert werden (= Darstellungsmatrix der Identität, s. letzte Zeile der Merkebox auf S.455).

Arens et al. Fragen zum Kapitel 12-18

FAQs

zu Aufgabe 15.16 // Zusatzmaterialien  

Frage: Die Website matheweb.de leitet direkt auf die Springerseite um, wo kann ich die Lösung/den Lösungsweg für die Aufgabe 15.16 finden?

Unter www.matheweb.de sehen Sie die beiden Werke "Grundwissen Mathematikstudium" und "Mathematik". Gehen Sie auf den Link "Lesen Sie mehr über dieses Lehrbuch", dann auf den Link "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln", dann auf "Kap.12-18" Sie finden den Link auf die Lösungen dann in der rechten Spalte.
Wenn Sie nicht weiterkommen, senden Sie an mich (andreas.ruedinger@springer.com) bitte eine E-Mail, auf die ich dann direkt antworten kann.