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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Kapitel 5-11

5 Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra 

5.1 Erste Lösungsversuche.
5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan.
5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung.

6 Vektorräume von Basen und Dimensionen 

6.1 Der Vektorraumbegriff.
6.2 Beispiele von Vektorräumen.
6.3 Untervektorräume.
6.4 Basis und Dimension.
6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen.

7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen 

7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.
7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.
7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.
7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.
7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.

8 Folgen der Weg ins Unendliche 

8.1 Der Begriff einer Folge.
8.2 Konvergenz.
8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen.

9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf δ 

9.1 Grundlegendes zu Funktionen.
9.2 Beschränkte und monotone Funktionen.
9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit.
9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.
9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.

10 Reihen - Summieren bis zum Letzten 

10.1 Motivation und Definition.
10.2 Kriterien für Konvergenz.
10.3 Absolute Konvergenz.
10.4 Kriterien für absolute Konvergenz.

11 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen 

11.1 Definition und Grundlagen.
11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.
11.3 Die Exponentialfunktion.
11.4 Trigonometrische Funktionen.
11.5 Der Logarithmus.

Arens et al. Fragen zum Kapitel 5-11

FAQs

Thema: S.206 Beweis: Kennzeichnung von Basen, Errata  

Frage: "Dieser Widerspruch belegt, dass v im Erzeugnis von B\{v} liegt."Da dies angenommen wurde, sollte doch jetzt die Verneinung gelten, oder?

Antwort: Vielen Dank für Ihren Hinweis. Leider ist das tatsächlich ein Fehler, anstelle
"... belegt, dass $v \in \langle B \setminus \{v\}\rangle$ liegt." sollte es heißen
"... belegt, dass $v \not\in \langle B \setminus \{v\}\rangle$ gilt.
Die Korrektur ist nun auch auf der Errata-Liste zu finden.

Thema: S. 301 Aufgabe 8.11 

Frage: Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe und Nutzung der Lösung frage ich mich, warum man die Differenz zwischen der rekursiven Folge und 1/a betrachtet? Weiterhin müsste 1/a - x_(n+1) = 1/a - 2x_n + a(x_n)^2 lauten und nicht wie in der Lösung angeben mit 1/a - 2x_n -a(x_n)^2.

Antwort: Zum ersten Teil Ihrer Frage: Dies ist in der Aufgabe angeben ist. Grundsätzlich ist es empfehlenswert, bei Rekursionsgleichungen die Menge der Fixpunkte zu bestimmen (man setze x_n = x_{fix} für alle n und löse nach x_{fix} auf) und z.B. die Differenz zu x_{fix} zu betrachten. Hier ist x_{fix}=1/a der einzige Fixpunkt der Rekursionsgleichung.
Zum zweiten Teil Ihrer Frage: Hier liegt beim Vorzeichen ein Tippfehler vor, der auf die Errata-Liste aufgenommen wird. Vielen Dank für Ihren Hinweis.

zu S. 353 Beweis: Harmonische Reihe  

Frage: Könnten Sie bitte erklären, was im vorletzten Schritt passiert. Warum und wie wird aus der Doppelsumme wieder eine einfache Summe?

Antwort: Die innere Summe im vorletzten Term lautet \sum_{k=1}^{2^j} \frac{1}{2^j + 2^j}. Es wird also über \frac{1}{2^j + 2^j} = \frac{1}{2^{j + 1}} summiert, ein Term, der gar nicht von dem Laufindex der Summe, nämlich von k abhängt. Somit ist die Summe schlicht die Anzahl der Summanden (das sind 2^j) mal dem einzelnen Summanden (1/ 2^{j+1) und dies gibt 1/2.

zu Kapitel 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 

Wenn man die Punkte im Anschauungsraum mit den nulldimensionalen affinen Teilräumen des R3 identifiziert, dann sind die auf S. 229 gegebenen Paare von Punkten der Ãquivalenzrelation aber nicht Element R3xR3 sondern eine Teilmenge davon oder?

Antwort:
Abgesehen davon, dass jede Menge auch eine Teilmenge von sich selbst ist, stimmt es schon, dass die Menge aller Punktepaare gleich R3xR3 ist. Und die Vektoren sind die Äquivalenzklassen hinsichtlich der auf Seite 229, linke Spalte, erklärten Äquivalenzrelation.

zu Ungleichungserhaltung bei Grenzwertbildung (S. 289 rechte Spalte oberster Abschnitt) 

Warum wird bei dem Beweis der Ungleichungserhaltung bei Grenzwertbildung die Grenzwertdefinition mit der "kleiner - gleich" - Relation anstatt der "kleiner" - Relation, wie am Anfang des Kapitels eingeführt, verwendet?

Antwort:
Zunächst sollten Sie sich davon überzeugen, dass die beiden Versionen der Grenzwertdefinition mit | x_n - x | ‹ eps und | x_n - x | ‹ = eps äquivalent sind. Damit kann man immer die Version auswählen, die in einem gewissen Moment die bequemere ist.
Wieso ist die Version mit kleiner gleich hier bequemer? Es wird (und das hätten wir eigentlich dazuschreiben sollen) das Fundamental-Lemma der Analysis auf Seite 110 angewandt, in dem a ‹ = eps für jedes eps > 0 die Voraussetzung ist. Hätten wir die Version mit ‹ eps beim Grenzwert verwendet, wäre noch ein zusätzliches Argument notwendig geworden, um das Fundamental-Lemma der Analysis anzuwenden.

zu Abgeschlossenheit des Abschluss, Selbstfrage 324 

Frage: ich habe eine Frage zu der Selbstfrage auf Seite 324 bzw genauer zu der zugehörigen Antwort auf Seite 345. Müsste es dort nicht heißen: Ist (x_k) eine konvergente Folge aus \bar{M} mit Grenzwert x, so gibt es zu diesem x eine Folge aus M, die gegen x konvergiert.

Antwort: Vielen Dank für Ihre Frage. Sie hätten recht, wenn es in der Frage um die Abgeschlossenheit von M ginge. Dann müsste es in der Antwort "so gibt es zu diesem x eine Folge aus M" heißen statt "so gibt es zu diesem x eine Folge aus \bar{M}". Allerdings geht es in der Frage um den Nachweis der Abgeschlossenheit von \bar{M}. daher ist die Formulierung im Buch korrekt.

Thema - Kapitel 6: Austauschsatz von Steinitz (S. 207, rechts)  

Frage zu a) Induktionsanfang, b)Induktionsschluss, c) Die Verlinkung der Errata zum Buch zeigt momentan nur auf die Errata des Arbeitsbuches.

Antwort
zu a) Sehen Sie bitte auf den Errata, die zu dem Induktionsanfang eine verständlichere Formulierung angeben.
zu b) Ich habe Ihre Frage (wegen Vielzahl an Symbolen hier nicht aufgeführt) an den Autor des Kapitels weitergegeben.
zu c) Entschuldigen Sie bitte die falsche Verlinkung. Jetzt sollte es wieder korrekt sein.
Weitere Fragen gerne auch unter Angabe Ihrer E-Mail-Adresse, dies macht manches einfacher.

Thema - Kap 10, Aufg. 10.18 

Frage - Meines Erachtens ist der angegebene Lösungsweg zwar richtig, aber seine Interpretation am Schluss nicht ganz. Strenggenommen ist das Majorantenkriterium, so wie S. 356-358o und s.365o definiert, hier gar nicht anwendbar, denn die Voraussetzung betrag(bn) kleinergleich betrag(an) für alle n größergleich n0 ist nicht gegeben. Es kann also nicht von einer konvergenten Majorante gesprochen werden. Wohl aber zeigt der Lösungsweg, dass das Monotoniekriterium anwendbar ist.

Antwort:
Dies ist eine Frage der Semantik, da das Majorantenkriterium für Reihen nichts anderes als eine spezielle Formulierung des Monotoniekriteriums für Folgen ist. Auch wenn es nicht ausdrücklich im Buch so ausgeführt ist, spricht man von einer Anwendung des Majorantenkriteriums, wenn die absolute Konvergenz einer Reihe durch die Abschätzung nach oben durch eine andere konvergente Reihe nachgewiesen wird. Und ja, eigentlich ist das eine Anwendung des Montoniekriteriums.

Thema - Kap 10, S.373 

Frage - Der Warnhinweis S.373 oben rechts stimmt inhaltlich nicht mit den angegebenen Definitionen von Wurzel- und Quotientenkriterium überein. In keinem von beiden wird wirklich die Konvergenz der angegebenen Folgen verlangt. Das Wurzelkriterium verlangt für Konvergenz nur, dass der größte Häufungspunkt kleiner 1 ist, für Divergenz kann die Folge sogar unbeschränkt sein. Das Quotientenkriterum verlangt in keinem der Fälle Konvergenz der Folgen. In Arens et al "Mathematik" werden andere Definitionen für die Kriterien genannt, diese verlangen tatsächlich beide die Konvergenz der Folgen. Hier träfe der Warnhinweis also in der angegebenen Form zu. Für Arens et al "Grundwissen Mathematikstudium" ist er so aber verwirrend.

Antwort:
Ja, das ist richtig. Allerdings steht die Formulierung über Grenzwerte auch im Grundwissenbuch jeweils direkt hinter den Kriterien. Wir werden über eine bessere Formulierung nachdenken.

Thema - Zu KAP. 6: Frage zur Definition des Vektorraumes und evtl. Fehlerhinweis auf S.190  

Frage: 1) Müsste man strenggenommen bei der Definition eines K-Vektorraumes bei (V3) nicht zwischen der Multiplikation von Skalaren mit Skalaren und Skalaren mit Vektoren unterscheiden? Schließlich würde es sich doch bei den genannten Multiplikationen um zwei verschieden Abbildungen handeln? Ich glaube, dass Sie es bereits (vielleicht unbeabsichtigt) mit dem Weglassen des Symbols für die skalare Multiplikation getan haben. Im Buche steht ,,(V3) (\lambda\mu) \cdot v = \lambda \cdot (\mu \cdot v)''. Weiter unten schreiben Sie allerdings ,,Wir lassen für das Produkt in K - wie dies oft üblich ist - den Punkt für die Multiplikation weg.'' Aber wenn man ganz exakt sein möchte, bräuchte man doch für die Abbildung '\cdot : K \times K \rightarrow K, (\lambda,\mu) \mapsto \lambda \cdot \mu`' ein anderes Symbol, also kein Punkt (\cdot) sondern etwas anderes, oder etwa nicht? 2) Rechts auf S.190 schreiben Sie: ,,Wir bezeichnen das zu v entgegengesetzte und eindeutig bestimmte Element v' mit -v und schreiben anstelle von v + (-w) kurz v - w. ...''. Müsste es nicht heißen "Wir bezeichnen das zu v entgegengesetzte und eindeutig bestimmte Element v' mit -v und schreiben anstelle von v + v' = v + (-v) kurz v - v. ...''?

Antwort:
1) Ja, man bräuchte eigentlich ein anderes Symbol. Und genau deswegen haben wir (keineswegs unbeabsichtigt) den Malpunkt zwischen des Skalaren (wie dies oft üblich ist) gleich weggelassen.
Eine zusätzliche Erläuterung: Wenn man es so genau nimmt und für die Multiplikationen verschiedene Symbole benutzt, dann müsste man auch für das Produkt von Funktionen oder für die Multiplikation von komplexen Zahlen im Gegensatz zur Multiplikation reeller oder rationaler Zahlen wiederum verschiedene Symbole nutzen ... ob das das Verständnis fördert, würde ich mal bezweifeln.
2) Ja, könnte man auch schreiben, aber wir wollten dies gleich etwas allgemeiner ausdrücken und diese neue Schreibweise nicht nur für Element und entgegengesetztes Element einführen.

Thema - Beweis des Riemann'schen Umordnungssatzes, S.365  

Frage - Die im Beweis angegebene Konstruktion einer Umordnung (S_N) durch die P_N und Q_N funktioniert so überhaupt nicht. Wie man sich an einem Beispiel klarmacht, werden oftmals nur Nullen addiert, und dadurch enthält die erzeugte Folge (S_N) viel mehr Glieder als die ursprüngliche Reihe, grob gesehen doppelt so viele. Es handelt sich bei (S_N) also um keine Umordnung. Der Algorithmus müßte dahingehend geändert werden, daß P_N bzw. Q_N jeweils nicht nur einfach um eins erhöht werden, sondern solange um eins erhöht werden, bis P_{N+1} bzw Q_{N+1} auf ein Element von b_n bzw. c_n zeigt, das von Null verschieden ist. Der Algorithmus muß also um eine Schleife erweitert werden. Außerdem muß das erste, durch die Anfangsbedingung entstehende Glied S_0 von der Umordnung ausgenommen werden, da ihm ebenfalls keine Partialsumme der ursprünglichen Reihe entspricht. Zuletzt zum Ende des Beweises: es handelt sich hier wohl um einen Induktionsbeweis. Leider ist es ziemlich verwirrend, daß der Induktionsschritt vor dem Induktionsanfang gezeigt wird. Man sollte dies vielleicht umdrehen und den Beweis beim Namen nennen. Ansonsten ist es aber prinzipiell ein schöner Beweis, wie ich finde.

Antwort:
Der Einwand, bei (S_N) handelt es sich um keine Umordnung der ursprünglichen Reihe, stimmt so nicht. Eine Reihe ist nichts anderes als eine Folge von Partialsummen. Die Glieder von (S_N)_{N größergleich 2} erhält man genau als Partialsummen einer Umordnung der Reihe über die (a_n). Das hier auch Null-Summanden in den Ausrücken für die Summen vorkommen, spielt keine Rolle. Das ändert ja den Wert der Summe nicht.
Es stimmt zwar, dass das erste Folgenglied S_1 in (S_N) eine zusätzliche Null ist, die strenggenommen nicht in einer Umordnung der Reihe über die a_n vorkommt, aber das hat keinen Einfluss auf das Konvergenzverhalten dieser Reihe. Diese leichte formale Ungenauigkeit zur Verbesserung der Lesbarkeit des Beweises mögen Sie mir verzeihen.