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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Kapitel 5-11

5 Lineare Gleichungssysteme - Grundlage der linearen Algebra 

5.1 Erste Lösungsversuche.
5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan.
5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung.

6 Vektorräume von Basen und Dimensionen 

6.1 Der Vektorraumbegriff.
6.2 Beispiele von Vektorräumen.
6.3 Untervektorräume.
6.4 Basis und Dimension.
6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen.

7 Analytische Geometrie - Rechnen statt Zeichnen 

7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum.
7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum.
7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum.
7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.
7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen.

8 Folgen der Weg ins Unendliche 

8.1 Der Begriff einer Folge.
8.2 Konvergenz.
8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen.

9 Funktionen und Stetigkeit ε trifft auf δ 

9.1 Grundlegendes zu Funktionen.
9.2 Beschränkte und monotone Funktionen.
9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit.
9.4 Abgeschlossene, offene, kompakte Mengen.
9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich, Zwischenwertsatz.

10 Reihen - Summieren bis zum Letzten 

10.1 Motivation und Definition.
10.2 Kriterien für Konvergenz.
10.3 Absolute Konvergenz.
10.4 Kriterien für absolute Konvergenz.

11 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen 

11.1 Definition und Grundlagen.
11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen.
11.3 Die Exponentialfunktion.
11.4 Trigonometrische Funktionen.
11.5 Der Logarithmus.

Arens et al. Fragen zum Kapitel 5-11

FAQs

Thema: S.206 Beweis: Kennzeichnung von Basen, Errata  

Frage: "Dieser Widerspruch belegt, dass v im Erzeugnis von B\{v} liegt."Da dies angenommen wurde, sollte doch jetzt die Verneinung gelten, oder?

Antwort: Vielen Dank für Ihren Hinweis. Leider ist das tatsächlich ein Fehler, anstelle
"... belegt, dass $v \in \langle B \setminus \{v\}\rangle$ liegt." sollte es heißen
"... belegt, dass $v \not\in \langle B \setminus \{v\}\rangle$ gilt.
Die Korrektur ist nun auch auf der Errata-Liste zu finden.

Thema: S. 301 Aufgabe 8.11 

Frage: Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe und Nutzung der Lösung frage ich mich, warum man die Differenz zwischen der rekursiven Folge und 1/a betrachtet? Weiterhin müsste 1/a - x_(n+1) = 1/a - 2x_n + a(x_n)^2 lauten und nicht wie in der Lösung angeben mit 1/a - 2x_n -a(x_n)^2.

Antwort: Zum ersten Teil Ihrer Frage: Dies ist in der Aufgabe angeben ist. Grundsätzlich ist es empfehlenswert, bei Rekursionsgleichungen die Menge der Fixpunkte zu bestimmen (man setze x_n = x_{fix} für alle n und löse nach x_{fix} auf) und z.B. die Differenz zu x_{fix} zu betrachten. Hier ist x_{fix}=1/a der einzige Fixpunkt der Rekursionsgleichung.
Zum zweiten Teil Ihrer Frage: Hier liegt beim Vorzeichen ein Tippfehler vor, der auf die Errata-Liste aufgenommen wird. Vielen Dank für Ihren Hinweis.

zu S. 353 Beweis: Harmonische Reihe  

Frage: Könnten Sie bitte erklären, was im vorletzten Schritt passiert. Warum und wie wird aus der Doppelsumme wieder eine einfache Summe?

Antwort: Die innere Summe im vorletzten Term lautet \sum_{k=1}^{2^j} \frac{1}{2^j + 2^j}. Es wird also über \frac{1}{2^j + 2^j} = \frac{1}{2^{j + 1}} summiert, ein Term, der gar nicht von dem Laufindex der Summe, nämlich von k abhängt. Somit ist die Summe schlicht die Anzahl der Summanden (das sind 2^j) mal dem einzelnen Summanden (1/ 2^{j+1) und dies gibt 1/2.

zu Kapitel 7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 

Wenn man die Punkte im Anschauungsraum mit den nulldimensionalen affinen Teilräumen des R3 identifiziert, dann sind die auf S. 229 gegebenen Paare von Punkten der Ãquivalenzrelation aber nicht Element R3xR3 sondern eine Teilmenge davon oder?

Antwort:
Abgesehen davon, dass jede Menge auch eine Teilmenge von sich selbst ist, stimmt es schon, dass die Menge aller Punktepaare gleich R3xR3 ist. Und die Vektoren sind die Äquivalenzklassen hinsichtlich der auf Seite 229, linke Spalte, erklärten Äquivalenzrelation.

zu Ungleichungserhaltung bei Grenzwertbildung (S. 289 rechte Spalte oberster Abschnitt) 

Warum wird bei dem Beweis der Ungleichungserhaltung bei Grenzwertbildung die Grenzwertdefinition mit der "kleiner - gleich" - Relation anstatt der "kleiner" - Relation, wie am Anfang des Kapitels eingeführt, verwendet?

Antwort:
Zunächst sollten Sie sich davon überzeugen, dass die beiden Versionen der Grenzwertdefinition mit | x_n - x | ‹ eps und | x_n - x | ‹ = eps äquivalent sind. Damit kann man immer die Version auswählen, die in einem gewissen Moment die bequemere ist.
Wieso ist die Version mit kleiner gleich hier bequemer? Es wird (und das hätten wir eigentlich dazuschreiben sollen) das Fundamental-Lemma der Analysis auf Seite 110 angewandt, in dem a ‹ = eps für jedes eps > 0 die Voraussetzung ist. Hätten wir die Version mit ‹ eps beim Grenzwert verwendet, wäre noch ein zusätzliches Argument notwendig geworden, um das Fundamental-Lemma der Analysis anzuwenden.

zu Abgeschlossenheit des Abschluss, Selbstfrage 324 

Frage: ich habe eine Frage zu der Selbstfrage auf Seite 324 bzw genauer zu der zugehörigen Antwort auf Seite 345. Müsste es dort nicht heißen: Ist (x_k) eine konvergente Folge aus \bar{M} mit Grenzwert x, so gibt es zu diesem x eine Folge aus M, die gegen x konvergiert.

Antwort: Vielen Dank für Ihre Frage. Sie hätten recht, wenn es in der Frage um die Abgeschlossenheit von M ginge. Dann müsste es in der Antwort "so gibt es zu diesem x eine Folge aus M" heißen statt "so gibt es zu diesem x eine Folge aus \bar{M}". Allerdings geht es in der Frage um den Nachweis der Abgeschlossenheit von \bar{M}. daher ist die Formulierung im Buch korrekt.