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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Kapitel 1-4

1. Was ist Mathematik und was tun 

1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch.
1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs.
1.3 Ratschläge zum Einstieg in die
Mathematik.
1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik.

2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik 

2.1 Junktoren und Quantoren.
2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre.
2.3 Abbildungen.
2.4 Relationen.

3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln 

3.1 Gruppen.
3.2 Homomorphismen.
3.3 Körper.
3.4 Ringe.

4 Zahlbereiche – Basis nicht nur der Analysis 

4.1 Reelle Zahlen.
4.2 Körperaxiome für die reellen Zahlen.
4.3 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen.
4.4 Ein Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen.
4.5 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion.
4.6 Ganze Zahlen und rationale Zahlen.
4.7 Komplexe Zahlen: Ihre Arithmetik und Geometrie.

Arens et al. Fragen zum Kapitel 1-4

FAQs

zu Kap.4: Beweis zum Satz von Cayley, S. 74  

Frage: Warum folgt aus dem injektiven Homomorphismus von G auf psi(G), dass dies ein Isomorphismus ist?

Antwort: Beachten Sie den Kommentar auf Seite 45: Schränkt man die Wertemenge einer Abbildung auf das genaue Bild ein, so erhält man eine surjektive Abbildung. Und ein surjektiver und injektiver Homomorphismus ist ein Isomorphismus.

zu Kapitel: 3/Seite 80, Beweis der Identität 0*a=0 

Frage: Muss man beim Beweis der obigen Identität das Kommutativgesetz der Multiplikation auch für die Multiplikation der Null voraussetzen, bzw. wie lässt sich das beweisen? Das zweite Distributivgesetz lässt sich ja leicht aus den Axiomen herleiten, allerdings muss man dadurch die Einschränkung hinnehmen, dass dieses Gesetz für alle Zahlen aus K\{0} gilt, aber eben nicht für die Null. Deshalb weiß ich nicht, wie ich dies beweisen soll. Im Voraus vielen Dank für Ihre Hilfe.

Antwort: Vielen Dank für Ihre Frage. Sie haben recht, man kann die Identität 0*a=0 aus den angegebenen Axiomen nicht folgern (es gibt ein Gegenbeispiel), sondern benötigt dazu das zweite Distributivgesetz. Dass dies fehlt, ist ein Fehler, der nun auf der Errata-Liste korrigiert ist. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen und danken Ihnen nochmals für den Hinweis.

Büchlein mit Zusammenfassungen 

Frage: Hallo und Gratulation zu dem sehr schönes Buch! Wird es eigentlich wieder ein Buch mit den Zusammenfassungen und Übersichten geben? Das wäre toll!

Antwort: Herzlichen Dank für Ihr Lob. Es freut uns sehr, dass Ihnen das Buch gefällt. Ob es wieder ein Exzerpt mit den Zusammenfassungen geben wird, ist noch nicht entschieden (aber durchaus angedacht). Die Verkäufe von "Mathematik zum Mitnehmen" waren/sind geringer als geplant, insofern besteht noch etwas Zurückhaltung (bzw. müsste der Preis dann etwas höher sein). Je mehr Kunden sich dafür aussprechen (gerne per E-Mail an andreas.ruedinger@springer.com), desto eher und schneller wird ein mögliches "Grundwissen Mathematikstudium zum Mitnehmen" realisiert.

Zu Kap.3 Begriff des Schiefkörpers gemäß Definition S. 80 gegenüber Verständnisfrage 3.3  

Frage: Unterscheidet sich der Begriff des Schiefkörpers von dem des Körpers dadurch, dass die Gruppe (K', *') nicht kommutativ ist, oder lediglich dadurch, dass diese Gruppe nicht notwendig kommutativ ist? Ersteres gilt gemäß Definition S. 80: "…gefordert, dass (K', *') eine nicht kommutative Gruppe ist"; letzteres offenbar gemäß Aufgabenstellung 3.3, die sonst eine Fangfrage wäre, und in der Lösung (Arbeitsbuch S. 11) wird auch bemerkt: "Nach einem berühmten Satz von Wedderburn ist jeder endliche Schiefkörper kommutativ, also ein Körper".

Antwort: Besten Dank für Ihre Anmerkung, die tatsächlich eine kleine Unklarheit aufdeckt: Üblicherweise definiert man zuerst den Begriff des Schiefkörpers durch:
(K1) unverändert
(K2) ohne das Adjektiv "kommutative"
(K3) die beiden Distributivgesetze
und nennt einen Schiefkörper einen Körper, falls die Multiplikation kommutativ ist. Einen Schiefkörper, der kein Körper ist, nennt man dann einen echten Schiefkörper.
Damit lautet die Antwort auf Ihre Frage: Die Unterscheidung zwischen Körper und Schiefkörper besteht lediglich darin, dass diese Gruppe nicht notwendig kommutativ ist.

Zu Kap. 3, S. 67, Untergruppe H von G 

Frage: Wieso reicht die Einschränkung von * auf HxH schon aus? Muss nicht auch der Wertebereich auf H eingeschränkt werden? Also die Verknüpfung *': HxH -> H lauten?

Antwort: Sie haben Recht. Die Einschränkung */HxH ist im Sinne der Definition von Seite 43 eine Abbildung HxH -> G, also noch keine Verknüpfung auf H gemäß der Definition auf Seite 64, weil die Gleichheit von Abbildungen (Seite 43) auch die Gleichheit der Wertemengen voraussetzt. Der Text im vorletzten Absatz vor dem Untergruppenkriterium auf Seite 67 sollte daher richtig lauten:
... obwohl mit der "von G stammenden Verknüpfung" eigentlich die Abbildung
*': HxH -> H gemeint ist mit (x,y) |-> x *' y = x*y .

zu Kap. 4., S. 111:Q nicht archimedisch bezüglich der mit dem Betrag verbundenen Anordnung 

Frage: Im letzten Absatz auf S. 111 heißt es nach der Definition eines bewerteten Körpers: "Bezüglich dieser Bewertung und der damit verbundenen Anordnung ist Q nicht archimedisch." Ich verstehe die Behauptung nicht. Wie ist diese Anordnung von Q denn definiert, bezüglich derer es eine obere Schranke der natürlichen Zahlen in Q gibt?

Antwort: Sie haben recht, hier liegt ein Fehler vor. Der Satz sollte lauten: "Bezüglich der von \RR induzierten Bewertung und Anordnung ist auch \QQ ein (sogar archimedisch) angeordneter Köper (s.S.123/124)".
Der Fehler ist entstanden, da im Manuskript ein Absatz zu p-adischer Metrik stand, der dann weggefallen ist.
Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

zu Beweis der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen (Kap. 4, S. 123) 

Frage:
Das in der linken Spalte angegebene Argument für die echt größere Mächtigkeit von Abb(M,{0,1}) gegenüber M lautet:
(1) M ist gleichmächtig zur Teilmenge {f_m | m ∈ M} von Abb(M,{0,1})
(2) {f_m | m ∈ M} ist aber eine echte Teilmenge von Abb(M,{0,1}) (Zeuge: die Abbildung f)
(3) Also kann M nicht so mächtig sein wie Abb(M,{0,1}).
Und daraus soll unter anderem folgen, dass die Potenzmenge P(M) echt mächtiger als M selbst ist. Dass obige Argumentation jedoch nur für endliche Mengen gilt, ist gerade die Pointe des Galileo-Paradoxons:
(1') N ist gleichmächtig zur Teilmenge 2N von N
(2') 2N ist eine echte Teilmenge von N (Zeuge: jede ungerade Zahl)
(3') Also ist N nicht so mächtig wie N selbst
Wäre der Beweis nicht eher umgekehrt aufzuziehen?
(i) Die Potenzmenge P(M) ist echt mächtiger als M (unabhängig gezeigt auf S. 46)
(ii) Es gibt eine Bijektion von P(M) in Abb(M,{0,1}) (nämlich die in der rechten Spalte angegebene)
(iii) Also ist |Abb(M,{0,1})| = |P(M)| > |M|
Und mit der in der linken Spalte angegebenen Injektion von Abb(N,{0,1}) in die reellen Zahlen folgt schließlich |R| ≥ |Abb(N,{0,1})| > |N|, d. h. R ist überabzählbar. Dabei ist (i) Voraussetzung, nicht Nebenprodukt der Argumentation!
Antwort: s. pdf-Datei unten.

zu S.105, Beweis zur binomischen Formel 

Frage: Nur eine Kleinigkeit: Im achten Schritt steht das M3 und D angewandt worden, während aber nur D zum Zuge kommt, oder?

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt ein Druckfehler vor, den ich auf die gerade aktualisierte und online gestellte Errata-Liste aufgenommen habe.

Thema - Aufgabe 3.6 

Frage - Sie haben in Ihrem Lösungsweg zu b) und c) die Assoziativität von kgV und ggT doch gar nicht bewiesen, sondern nur behauptet. Da mir dieser Beweis angesichts der recht komplizierten formalen Definition dieser beiden Verknüpfungen gar nicht so einfach erscheint (ich finde ihn jedenfalls nicht), wäre ich für eine Ergänzung des Lösungswegs dankbar. In d) leuchtet mir nicht ein, warum 0 nicht das neutrale Element ist, denn m + 0 + m*0 = m.

Die Lösung ist zugegebenermaßen sehr knapp, aber korrekt (zu (d) sei angemerkt, dass wir die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählen). Eine ausführlichere Lösung finden Sie unten als (Link auf ein) pdf.

Thema: S.55: Zerlegung einer Menge X mit Äquivalenzrelation in nichtleere, disjunkte Äquivalenzklassen.  

Frage: Wieso sind alle Äquivalenzklassen disjunkt? Im gelben Kasten steht doch unter c), dass zwei Äquivalenzklassen genau dann nicht disjunkt sind, wenn die beiden Äquivalenzklassen gleich sind. Das heißt doch, wenn man nach a) in dem gelben Kasten die Vereinigung aller Äquivalenzklassen einer Menge X bildet, kann es durchaus sein, dass man bei der Vereinigung auf zwei gleiche und damit nicht disjunkte Mengen stößt.

Antwort: Sie haben Recht, dass auf S.55 im gelben Kasten bei a) die Vereinigung i.A. nicht disjunkt ist. Dennoch stimmt die Überschrift "Eine Äquivalenzrelation zerlegt die Menge X in disjunkte, nichtleere Äquivalenzklassen", da man die Menge als disjunkte Vereinigung von Äquivalenzklassen schreiben kann, indem man aus jeder Äquivalenzklasse genau einen Vertreter wählt als Index der Vereinigungsmenge.

Thema: S.81: Nullteilerfreiheit eines Körpers 

Frage: Oben links auf S. 81 steht: "Dies folgt schon deshalb, weil "*" eine Verknüpfung in K' = K \ {0} ist, also wegen der Abgeschlossenheit bei x,y E K' auch x * y E K' sein muss." Wieso muss man bei der Menge K' nicht die Verknüpfung *' betrachten? Kann man etwa sagen, dass a * b = a *' b für a,b E K'?

Antwort:
Zu Ihrer ersten Frage: Es sollte statt "\cdot" hier " \cdot ' " heißen, weil hier genau die auf Seite 80 in der Definition unter (K2) erklärte Einschränkung gemeint ist. Dieser Punkt ist nun auf die Errata-Liste aufgenommen. Vielen Dank für den Hinweis.
Zu Ihrer zweiten Frage: a \cdot ' b = a \cdot b fuer a,b\in \KK' ist richtig. Das versteht man ja genau unter der Einschränkung.

Thema: S.82, Körperautomorphismus 

Frage: Auf der Seite 82 steht, dass "eine Abbildung Psi von einem Körper K in sich mit der Eigenschaft [...] für alle a,b Element K" ein Körperautomorphismus ist. Müsste die Abbildung dazu nicht zusätzlich bijektiv sein?

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt ein Druckfehler vor, dessen Korrektur sich nun in der Errata-Liste befindet ("Eine bijektive Abbildung \Psi von einem Körper K in sich ..."). Eine Abbildung mit den genannten Eigenschaften ist zwar immer injektiv, weil die Faser des Nullelements nur die Null umfassen kann. Aber die Surjektivität muss doch extra verlangt werden.

Thema: S.78: Rechnen mit Restklassen als Beispiel zum Homomorphiesatz 

Frage: Auf der Seite 78 ist unten links von den Fasern und dem Kern des Homomorphismus Psi+ die Rede. Ist der Homomorphismus nicht die Abbildung Psi (nicht Psi+)? Damit wären es die Fasern von Psi und der Kern von Psi ker Psi=5*Z (im Gegensatz zu ker Psi+={5*Z}). Liege ich dort richtig? Oder habe ich etwas falsch aufgefasst?

Antwort: An sich ist beides richtig, denn Psi und Psi+ sind dieselben Abbildungen. Weil aber Psi zwei verschiedene Homomorphismen induziert, hat der Autor aus 'Symmetriegründen' zwei zusätzliche Bezeichnungen eingeführt. In diesem Sinn bezeichnet
- "Psi" eine bei allen Äquivalenzrelationen mögliche Abbildung der Elemente auf die jeweils zugehörige Äquivalenzklasse, dagegen
- "Psi+" einen Homomorphismus zwischen den angegebenen Gruppen, und einen Kern gibt es nur bei Homomorphismen.

Thema - S.97: Aufgabe 3.12 

Frage: In der Lösung zur Aufgabe 3.12 heißt es: a^3-3*sqrt(2)*a^2+3*2*a-2*sqrt(2)=2 <=> (a^3+6a-2)^2=2(3a^2+2)^2. Welche Umformung wurde hier vorgenommen? Ich kann diesen Schritt nicht nachvollziehen. Antwort: Man möchte die Wurzel 2 eliminieren, daher bringt man alle Terme mit Wurzel 2 auf die rechte Seite, klammert Wurzel 2 aus und quadriert dann (dadurch entsteht danach der ausgeklammerte Faktor 2 auf der rechten Seite).

Thema: S.78: Rechnen mit Restklassen als Beispiel zum Homomorphiesatz 

Zusatzfrage zu Rechnen mit Restklassen als Beispiel zum Homomorphiesatz Frage - Müsste der Kern von Psi+ nicht ker Psi+ = 0 (anstatt {0}) lauten (wobei 0 für die Restklasse steht)? Später wird {0} ja auch mit 5*Z ersetzt und nicht mit {5*Z}

Antwort: Sie haben Recht. Wir haben die Korrektur auf die aktuelle Errata-Liste aufgenommen. Vielen Dank für Ihren Hinweis.

Thema: S. 115: Rechtfertigung der Schreibweise Wurzel aus a.  

Frage: In der rechten Spalte auf S. 115 steht unten: "Dies beweist den Satz und rechtfertigt die Schreibweise Wurzel aus a für die eindeutig festgelegte Zahl x." Wieso rechtfertigt die Eindeutigkeit der Zahl x diese Schreibweise bzw. warum wäre bei Uneindeutigkeit der Zahl x die Schreibweise nicht gerechtfertigt?

Antwort: Man möchte, dass die einzelnen Terme in einem Ausdruck jeweils einen eindeutigen Wert annehmen, da sonst (einfachster Fall) die Ausdrücke nach Einsetzen der Variablen keine Zahlen mehr (z.B. reelle Zahlen, also Elemente der reellen Zahlen) wären, sondern Mengen. Insbesondere wenn mehrere uneindeutige Terme in einem Ausdruck vorkommen, müsste man alle Kombinationen betrachten, was sehr unübersichtlich würde.

Thema: S. 117: Existenz der k-ten Wurzel positiver Zahlen 

Frage: Unten in der linken Spalte steht: "Für jedes reelle Lambda mit 0 kleiner Lambda kleiner 1 ist 0 kleinergleich x(1-Lambda) kleiner x und daher (x(1-Lambda))^k kleiner a." Wieso folgt aus der Ungleichung 0 kleinergleich x(1-Lambda) kleiner x, dass (x(1-Lambda))^k kleiner a gilt? Und warum ergibt sich die Eindeutigkeit aus der Tatsache, dass aus 0 kleiner x_1 kleiner x_2 stets (x_1)^k kleiner (x_2)^k folgt?

Antwort: Sehen Sie bitte in der Errata-Liste die Korrekturen zu S.117.

Thema: S. 122 / rechts: Errata-Liste 

Frage: "Jede Teilmenge von N_0 ist endlich oder abzählbar, also höchstens abzählbar." Ist hier "[...] endlich oder abzählbar unendlich, also höchstens abzählbar." gemeint?

Antwort: Inhaltlich haben Sie vollkommen Recht. Man schreibt, wenn es vom Kontext her klar ist, statt "abzählbar unendlich" allerdings oft schlicht "abzählbar".

Thema - S. 135, linke Spalte: Zur Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen  

Frage: Hier steht: "Auf Grund der Körperaxiome enthält K alle "Zahlen" der Gestalt z = a+bi mit a,b Element R [...]". Weiter heißt es: "Betrachtet man jetzt die Menge C = {a + bi Element K | a,b Element R}, so stellt man fest, dass bereits C ein Körper bezüglich der auf K erklärten Addition und Multiplikation ist." Ich verstehe das "bereits C" in diesem Zusammenhang nicht. C ist doch genau der Körper, der vorher betrachtet wurde.

Antwort: Es ist klar, dass man aufgrund der Körperaxiome die o.g. Menge C der Linearkombinationen von 1 und i benötigt. Es ist allerdings a priori nicht klar, dass diese Menge alle Körperaxiome erfüllt. Dies wird im Folgenden nachgeprüft (für ausgewählte Körperaxiome).

Thema: Lösung zur Aufgabe 3.4 

Frage: "Wegen der Gradformel folgt deg P = -1, ein Widerspruch." Das würde doch nur folgen, wenn man einen Polynomring über einem Integritätsbereich vorliegen hätte (sonst deg P größergleich -1), was aber notwendig wäre, damit ein Polynomring ein Körper sein könnte, richtig?

Antwort: Ja, richtig, aber natürlich ist mit \mathbb{K} ein Körper gemeint. Das wird zwar nicht explizit gesagt, aber durch diese Notation "unterstellt". Außerdem: Wäre \mathbb{K} kein Integritätsbereich, so könnte \mathbb{K}[X] erst recht kein Körper sein; hier wäre also das Bemühen des Gradsatzes sogar unnötig.

Thema: Kap 9, S. 324 u. 345: Beweis: die abgeschlossene Hülle ist stets abgeschlossen  

Frage: In der Antwort zu der Selbstfrage wird gefolgert, dass x \in M_Dach ist. Es lässt sich an dieser Stelle aber doch eigentlich nur folgern, dass x \in M_Dach_Dach ist, also des Abschlusses des Abschlusses von M. Es fehlt also noch der Nachweis, dass M_Dach_Dach = M_Dach ist.

Antwort: Eine vollständige Argumentation lautet so: Sei (x_k) eine konvergente Folge aus \overline{M}, x = \lim_{k \to \infty} x_k . Zu jedem x_k gibt es dann eine Folge aus M, die gegen x_k konvergiert. Insbesondere existiert ein y_k \in M mit | x_k - y_k | kleiner als 1/k. Somit ist| x - y_k | kleinergleich | x - x_k | + 1/k \to 0 (k \to \infty). Also ist x Grenzwert der Folge (y_k) aus M und somit ein Element von \overline{M}.

Thema - ZU KAP. 2: GRUNDBEGRIFFE DER MENGENLEHRE 

S.35 Frage - ,,Man erhält die natürlichen Zahlen sukzessive aus der Null durch folgende Festlegungen: ..." Wie kann eine Zahl eine Menge sein? Könnten Sie bitte den Grundgedanken dahinter etwas ausführlicher erläutern?

Antwort: Diese Konstruktion ist im Zusammenhang mit dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der natürlichen Zahlen zu sehen, und im Kontext der axiomatischen Rückführung von mathematischen Strukturen auf Mengen. Es wird hier ein mengentheoretisches Modell der natürlichen Zahlen konstruiert, d.h. man braucht als Ausgangspunkt nur die Mengentheorie (die oft als eine Grundlage der Mathematik gesehen wird), die man als gegeben hinnimmt (deren Axiome wiederum sind beileibe nicht einfach) und konstruiert auf dieser Basis die natürlichen Zahlen: Jede Zahl ist die Menge ihrer Vorgängerzahlen: 0 = leere Menge; 1 = {0}; 2 ={0,1}, 3 = {0,1,2}. Wenn man dies ausschreibt, kommt man zu der Darstellung im Buch.
Dies ist das mengentheoretische Modell von von Neumann (John von Neumann war ein Mathematiker des 20. Jahrhunderts). Unter diesem Begriff finden Sie in der Literatur bei Bedarf weitere Informationen.