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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Teil 6

Teil VI: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
36 Deskriptive Statistik – wie man Daten beschreibt
37 Wahrscheinlichkeit – die Gesetze des Zufalls
38 Zufällige Variable – der Zufall betritt den R1
39 Spezielle Verteilungen – Modelle des Zufalls
40 Schätz- und Testtheorie – Bewerten und Entscheiden
41 Lineare Regression – die Suche nach Abhängigkeiten

Arens et al. Fragen zum Teil 6

Inhaltliche Fragen zum Kapitel können Sie hier stellen. Der Verlag und die Autoren bemühen sich um eine zeitnahe Antwort. Wir bitten um Verständnis, dass nur konzeptionelle Fragen beantwortet werden können, wir aber keine Übungsaufgaben etc. rechnen. Die Antwort wird bei den FAQs eingestellt

FAQs

Die Zusatzmaterialien zu den Kapiteln (Bonusmaterialien und Lösungen zu den Aufgaben) finden Sie in der rechten Spalte.

(Pfad von Beginn: www.matheweb.de, dann das entsprechende Werk auswählen, dann in der linken Spalte große Überschrift "Zusatzprodukte", darunter "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln". Klicken Sie dort bitte den Teil des Buches an, zu dem Sie Zusatzmaterialien suchen, dann finden Sie im nächsten Fenster in der rechten Spalte das Zusatzmaterial.)

zu Teil VI: Frage zur Notation 

Frage: Warum schreibt man teilweise P({Zahl}) und teilweise P(Zahl)? Ist das ein Unterscheid?

Antwort: Wenn Zahl ein Element aus der Obermenge Omega ist, dann ist P({Zahl}) die formal korrekte Schreibweise, da die Wahrscheinlichkeit P eine Abbildung ist, die Teilmengen aus Omega eine reelle Zahl zuordnet. Falls eine Verwechslung ausgeschlossen ist, schreibt man vereinfacht auch P(Zahl).

zu Kap. 36, Aufgabe 36.3 

Frage: Ferner habe ich bei Aufgabe 36.3 ausgerechnet, dass der Mittelwert des Alters beim Torwarttausch um 2 Jahre abnimmt. Im Lösungsbuch steht nur, er nehme ab. Ist die Lösung, dass es genau 2 Jahre sind, aus irgendeinem Grund falsch?

Antwort: Ihre Antwort ist richtig, der neue Mittelwert ist 26 Jahre und damit 2 Jahre geringer als vorher. Verlangt war zwar nur die schwächere Antwort: "Mittelwert nimmt ab."
Aber da die Änderung so leicht auszurechnen ist, sollte sie in einer Neuauflage berücksichtigt werden. Vielen Dank für den Hinweis.

zur Chi-Quadrat-Verteilung  

Frage: Die Chi-Quadratverteilung spielt eine wichtige Rolle bei den Stichprobenfunktionen und in der Entscheidungstheorie. Warum hat man in dem sonst so phantastisch geschriebenen Buch diese wichtige Funktion einfach weggelassen? Das verstehe ich nicht.

Antwort: Autoren und Verlag mussten - teilweise schweren Herzens - aus Umfangsgründen eine Auswahl treffen. Sie finden die Chi-Quadrat-Verteilung im Bonus-Material zum Kap.39 (Link auf dieser Seite in der rechten Spalte) unter Bonus 39.3. Vielen Dank für Ihre Anfrage und Anregung.

zu Teil VI: Frage zur Ausgleichgeraden 

Frage: Warum wird die Summe der Abstandsquadrate minimiert und nicht etwa die Summe der absoluten Abstände oder deren vierter Potenz?

zu Teil VI: Frage zur Wahrscheinlichkeitsfunktion 

Frage: Auf Seite 1262 wird der Begriff der W-Funktion synonym gebraucht für W-Maß - ist das nicht etwas fahrlässig?

zu Teil VI. Beispiel für Siebformel für mehrere Ereignisse  

Frage - Gibt es ein Beispiel wie man die Siebformel für mehrere Ereignisse anwenden kann?

Antwort: Bei der Aufg. 37.9 wurde die Siebformel für drei Ereignisse angewandt. Sehen Sie bitte die entsprechende Formel im Arbeitsbuch auf S.618 oben, die die spezielle Form der Siebformel (S.1265 im Hauptwerk) für n=3 ist. Beachten Sie, dass die Siebformel zunächst für Vereinigungen (z.B. A vereinigt B vereinigt C) gilt, aber man kann natürlich die Formel auch nach der Schnittmenge (A geschnitten B geschnitten C) auflösen.

Zu Deskriptive Statistik - S. 1234 Vertiefung Modus-Median-Mittelwert-Ungleichung 

Frage - Rechts: ca. 10. Zeile: "Also muss die Fläche links vom Modus kleiner als 0.5 sein." Diese Schlussfolgerung finde ich nicht einleuchtend, da der gelb markierte Teil nicht zwangsläufig 0.5 ist! Also ich verstehe nicht warum Modus ‹= Median ist.

Antwort: Die Lösung liegt darin, dass die gelbe Fläche und die halbe weiße Fläche größer als 0.5 sind!
Im Einzelnen: Auf der Abbildung sehen wir eine parabelförmige, in der Mitte durch den Modus halbierten weißen Fläche und rechts davon ein gelbe Fläche. Nennen wir die drei Gebiete kurz Modus-links, Modus rechts und Gelb, bzw. ihre Flächen F(Modus-links ), F(Modus rechts), F( Gelb) Dann gilt
F(Modus-links ) = F(Modus rechts)
F(Modus-links ) + F(Modus rechts) + F( Gelb) =1
Daraus folgt
F(Modus-links ) = (1-F( Gelb))/2 ‹ 0.5
Also muss - wie angegeben - die Fläche links vom Modus kleiner als 0.5 sein.

zu Kap. 36, Aufgabe 36.5 

Frage: Ich habe Aufgabe 36.5 ausgerechnet, dass die Kovarianz von B und N nach distributiv Gesetz wie folgt aussieht:cov(B, N) = cov(N+T,N) = cov(N, N) + cov(N,T) = var(N) + cov(N,T). Da aber die Frage nach Korrelation war und nicht nach Kovarianz, habe ich den Korrelationskoeffizienten ausgerechnet: r(B,N) = cov(B*, N*) = cov(N*,N*) + cov(T*, N*) = var(N*) + cov(T*, N*) = var(N*) + cov(T,N)/sqrt(var(T))/sqrt(var(N)) in beiden Fällen ist für mich nicht ersichtlich warum cov(T+N,N) = var(T) sein soll. Meines Erachtens muss man hier Fallunterscheidung anhand von cov(N,T) treffen.

Antwort: Es liegt hier leider ein Druckfehler vor.
Es muss cov(N+T,N) = var(N) › 0.
und nicht cov(N+T,N) = var(T) › 0 heißen.
Sie haben bis zu der Stelle
cov(B, N) = cov(N+T,N) = cov(N, N) + cov(N,T) = var(N) + cov(N,T)
alles korrekt berechnet. In der Aufgabenstellung war angegeben, dass die Gewichte N und T voneinander unabhängig und daher erst recht unkorreliert sein sollen. Daher ist
cov(N,T)=0 und folglich
cov(B, N) = var(N) und damit › 0.
Ist aber die Kovarianz positiv dann auch erst recht der Korrelationskoeffizient.
Wir bitten den Fehler und die dadurch verursachte Unannehmlichkeit zu entschuldigen.

zu Kap.36, p-Mittelwert auf S. 1235  

Frage: Es werden im Buch die Grenzwerte für p gegen null bzw. gegen plusminus unendlich mit dem geometrischen Mittel bzw. Minimal-/Maximalwert als Lösung angegeben. Wie sieht der Beweis dazu aus?

Antwort: Die Beweise sind nicht allzu schwer. Als Hinweis: Den Gernzwert für p gegen unendlich können Sie bestimmen, indem Sie das maximale x_i ausklammern und zeigen, dass der in der Klammer verbleibende Teil (1 + ..) für p gegen unendlich gegen 1 geht.
Den Grenzwert für p gegen 0 können Sie bestimmen, indem Sie x^p als exp (p ln x) schreiben und für kleine p entwickeln: x^p = 1+ p ln x + ...
(Den Beweis der Monotonie des verallgemeinerten Mittelwerts in Abhängigkeit von p finden Sie auf S.312.)

zu Kap.37, Aufg. 37.24 

Frage: Ist die Lösung von Aufgabe 37.24 korrekt? Für einen Lösungsweg/Ansatz wäre ich sehr dankbar...

Antwort: Sie finden den Lösungsweg unter den Zusatzmaterialkien auf www.matheweb.de (Wenn Sie Zusatzmaterialien zu Teil VI anklicken, sind in der rechten Spalte die Links auf die pdf-Dateien mit den Lösungswegen).

Zu Anwendungsbeispiel auf S. 1231 

Frage - Hier ist der Median mit 0,0025 angegeben. Excel gibt hierfür aber 0,0183 heraus. Genau das gleich Ergebnis erhält man, wenn man die f(xi) "abzählt". Liegt hier ein Fehler vor?

Antwort: Vielen Dank für Ihren Hinweis. Wir haben nachgerechnet und konnten Ihr Ergebnis bestätigen. Hier liegt ein Fehler vor, den wir bitten zu entschuldigen.

Zu Auf. 37.5 

Frage: Guten tag nocheinmal,ich habe sogleich noch eine frage zu aufgabe 37.15: muss es in der lösung nicht heißen 26^1 statt zweimal 26^3? da es im falle von nur 1 buchstaben es nur 26^1 mögliche für diesen gibt (wenn dieser immer dieselbe position auf dem nummernschild haben soll usw.) - dann käme ich auf 1,8278*10^8 mögliche kennzeichen. danke

Antwort: Sie haben recht, hier liegt in der 1. Auflage ein Druckfehler vor, den wir bitten, zu entschuldigen. Vielen Dank für Ihren Hinweis.

Zu Kap. 37 Aufgabe 37.12 

Frage - guten tag, wie kommt die lösung bei aufg 37.12 zustande? ich komme statt auf (8 über 3) auf (10 über 3) bzw. im zweiten teil auf (10 über 3 mal 3!) statt (8 über 3 mal 3!). im ersten fall gebe ich einen tipp mit 3 siegerkandidaten ab, es gibt 10! permutationen, von denen 3! gleich sind weil die siegerreihenfolge keine rolle spielt. weitere 7! spielen keine rolle, weil sozusagen die reihenfolge der verlierer bzw. nicht gewählten kandidaten auch keine rolle spielt - also erhalte ich 10! / (3! * 7!)mögliche tipps, von denen nur 1 richtig ist, ich muss all diese tipps abgeben, um mit sicherheit den einen richtigen tipp zu erwischen. im fall 2 spielt die siegerreihenfolge eine rolle und die 3! entfällt - so erhalte ich 10! / 7! = (10 über 3 mal 3!). ist dieser gedankengang richtig? vielen dank für ihre hilfe!

Antwort: Sie haben mit Ihren Überlegungen recht. Der Fehler liegt unsererseits. In der Aufgabenstellung sollte es "8" statt "10" heißen. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

Zu Kap.38, Aufgabe 38.5 

Frage - Ich verstehe die Lösung vollkommen. Jedoch war mein Ansatz folgender: E(1/X) = E(1)/E(X) + Cov(1, X). Der zweite Term ist 0, da eine Konstante enthalten ist. Also würde sich ergeben: E(1/X) = E(1)/E(X). Dies kann offensichtlich nicht stimmen, aber wo liegt der Denkfehler? Kann ich die Formel vielleicht nicht anwenden, da sie nur für zwei Zufallsvariablen gilt?

Antwort. Es gilt E(XY) = E(X)E(Y) + Cov(X,Y). Diese Formel gilt auch, wenn z.B. Y konstant ist (also Zufallsvariable, die nur einen Wert y annimmt). Dann ist E(Xy) = E(X)y + 0, wie es sein sollte. Allerdings gilt die Formel nur für Multiplikation, nicht für Divsion, wofür Sie sie angewandt haben. (Sie können sich durch Nachrechnen selbst davon überzeigen, dass die Herleitung der Formel nicht funktioniert, wenn Sie statt "XY" nun "X/Y" einsetzen.)