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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Teil V

Teil V: Höhere Analysis 

Höhere Analysis
30 Fouriertheorie – von schwingenden Saiten
31 Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen
32 Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen
33 Integraltransformationen – Multiplizieren statt Differenzieren
34 Spezielle Funktionen – nützliche Helfer
35 Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten

Arens et al. Fragen zum Teil 5

Inhaltliche Fragen zum Kapitel können Sie hier stellen. Der Verlag und die Autoren bemühen sich um eine zeitnahe Antwort. Wir bitten um Verständnis, dass nur konzeptionelle Fragen beantwortet werden können, wir aber keine Übungsaufgaben etc. rechnen. Die Antwort wird bei den FAQs eingestellt

FAQs

Die Zusatzmaterialien zu den Kapiteln (Bonusmaterialien und Lösungen zu den Aufgaben) finden Sie in der rechten Spalte.

(Pfad von Beginn: www.matheweb.de, dann das entsprechende Werk auswählen, dann in der linken Spalte große Überschrift "Zusatzprodukte", darunter "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln". Klicken Sie dort bitte den Teil des Buches an, zu dem Sie Zusatzmaterialien suchen, dann finden Sie im nächsten Fenster in der rechten Spalte das Zusatzmaterial.)

zu Kap.34 Separation 

Frage: Ich verstehe nicht, wie Sie auf S.1168 unten rechts durch Separation auf die drei Gleichungen kommen.

Antwort: Sehen Sie bitte in Abschnitt 29.2, dort finden Sie ausführlichere Beispiele.

zu Kap. 31 Vollständigkeit von Räumen / Abzählbarkeit der Basen 

Frage: S. 1062, linke Spalte, 3. Absatz: "Diejenigen Räume, die eine abzählbare Basis besitzen [...] sind nicht vollständig." Ist das richtig? Hilberträume mit abzählbaren Basen sind doch trotzdem vollständig. Oder geht es hier um zwei verschiedene Definitionen von Vollständigkeit?

Antwort: Der Begriff Basis bezeichnet sehr unterschiedliche Konzepte. Die erste Bedeutung ist die einer Vektorraumbasis, wie sie in der Linearen Algebra verwendet wird. Bezüglich einer solchen Basis lässt sich jeder Vektor als eine ENDLICHE Linearkombination der Basisvektoren schrieben. Man kann in der Tat zeigen, dass in einem unendlichdimensionalen Banachraum jede Vektorraumbasis überabzählbar viele Elemente hat. Dies ist eine Folgerung aus dem sogenannten Baire'schen Kategoriensatz.
Eine Orthonormalbasis in einem Hilbertraum ist etwas anderes, und manche Autoren sprechen daher lieber von einem vollständigen Orthonormalsystem.
Hier kann jeder Vektor als eine konvergente Reihe über die Basisvektoren dargestellt werden, also quasi als eine ABZÄHLBAR UNENDLICHE Linearkombination. Dadurch kommt man mit abzählbar vielen Basisvektoren aus.

zu Kap.33 Laplace-Transformation 

Frage: Seite 1133: Funktionen von exponentiellem Wachstum lassen sich transformieren, wenn gilt: |f(x)| ‹= c*e^(ax) für fast alle x >= 0 mit Konstanten c > 0 und a Element R: In der Literatur zur LT findet man auch c > 0 und a > 0. Wie kann man die Äquivalenz beider Bedingungen zu zeigen?

Antwort:
a) Wenn die Bedingung für a >0 gilt, gilt sie natürlich auch für ein a Element R.
b) Wenn die Bedingung für a Element R gilt, ist für a >0 unmittelbar klar, dass sie auch für a > 0 gilt. Für den anderen Fall a ‹= 0 gilt wegen x >0 die Ungleichung, dass e^(ax) ‹= 1 ‹=e^x. D.h. die Bedingung gilt dann auch für (z.B.) a=1, also für ein a > 0.

Zu Kap. 33: Grenzwertsätze Laplace-Transformation 

Frage - a) Warum entspricht t --> \infty im Zeitbereich s --> 0 im Bildbereich bzw. t --> 0 im Zeitbereich s --> \infty im Bildbereich?

Antwort: Die Grenzwertsätze der Laplace-Transformation werden in dem Buch nicht behandelt; wir möchten Sie daher auf die Literatur verweisen, z.B. auf Goebbels/Ritter, Mathematik verstehen und anwenden, dort finden Sie auf S.739ff die Grenzwertsätze inkl. einer Herleitung, aus der Sie auch ersehen, wie es sich ergibt, dass die Werte t \to 0 und s \to \infty in Zusammenhang miteinander stehen.

Thema: komplexe Fourierkoeffizienten berechnen, S.1029  

Frage: Hallo, auf Seite 1029 im Nachdruck: Dort wird ein Fourierkoeffizient ausgerechnet. In der zweitletzten Zeile der Rechnng steht 2(-1)^k anschließend kommt noch ein Summand. Ich gehe davon aus das der verschwindet [e^(ikx]_pi^-pi oder? Warum wird in der letzten Zeile dann aus 2(-1)^k plötzlich 2(-1)^(k+1)?

Antwort: In der Zeile davor steht ein Minuszeichen. Dies ist nun in (-1)^(k+1) absorbiert.

Thema: S.1147 

Frage: Hallo,ich meine einen Fehler gefunden zu haben. Im Nachdruck 2009 auf Seite 1147. Im Beispiel der Rechteckfunktion steht am Anfang der zweiten Zeile der Rechnung für die Transformierte i ( (e^(i s) - e^(-i s))/s richtig aber wäre ( (e^(i s) - e^(-i s))/i s oder -i ( (e^(i s) - e^(-i s))/s. Gruß

Antwort: Sie haben Recht. Hier liegt ein Druckfehler vor, den wir in der 2. Auflage berichtigen werden. Wir danken Ihnen für Ihren Hinweis und möchten Sie bitten, den Fehler zur entschuldigen.

Zu Kapitel 31 p.1057 (1.A.), p.1069 (2.A) rechte Spalte Cauchy-Folge Beispiel  

Frage: Mittels vollständiger Induktion......a(n) Element von [1,2]. Muss es nicht lauten "a(n) Element von (sqrt2, 2]", d.h. ein halboffenes Intervall? Der Wertebereich von a(n) geht doch von 2, d.h. a(0) bis fast sqrt2 und nicht von 1 - 2. Zwei Zeilen weiter unten. "Somit ergibt sich...|a(n+1)-an| usw". ist da nicht statt "kleiner/gleich" nur zweimal "kleiner als" als einzusetzen?

Antwort:
Natürlich kann man auch \sqrt{2} ‹ a_n \leq 2 zeigen, aber dies bedeutet sehr viel mehr Aufwand als die Abschätzung 1 \leq a_n \leq 2. Und diese Abschätzung ist für den gewünschten Zweck vollkommen ausreichend: Man will ja (und das steht nicht explizit da) zeigen, dass
| 1/2 - 1 / (a_{n-1} a_n) | \leq 1/2
ist. Mit
1 \leq a_n \leq 2
hat man aber sofort:
-1 = 1/2 - 1 \leq 1/2 - 1 / (a_{n-1} a_n) \leq 1/2 - 1/4 \leq 1/2
In vielen ähnlichen Fällen kann man zwar prinzipiell optimale Schranken finden (hier \sqrt{2} und 2), aber das bedeutet wir hier erhöhten Aufwand und ist dabei gar nicht nötig. Gröbere Schranken können vollauf genügen.
 
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