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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. | Spektrum Akademischer Verlag

Zusatzinformation zu Teil IV

Teil IV: Analysis mehrerer reeller Variablen 

Analysis mehrerer reeller Variablen
24 Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum
25 Gebietsintegrale – das Ausmessen von Körpern
26 Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung
27 Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln
28 Differenzialgleichungssysteme – ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen
29 Partielle Differenzialgleichung – Modelle von Feldern und Wellen

Arens et al. Fragen zum Teil 4

Inhaltliche Fragen zum Kapitel können Sie hier stellen. Der Verlag und die Autoren bemühen sich um eine zeitnahe Antwort. Wir bitten um Verständnis, dass nur konzeptionelle Fragen beantwortet werden können, wir aber keine Übungsaufgaben etc. rechnen. Die Antwort wird bei den FAQs eingestellt

FAQs

Die Zusatzmaterialien zu den Kapiteln (Bonusmaterialien und Lösungen zu den Aufgaben) finden Sie in der rechten Spalte.

(Pfad von Beginn: www.matheweb.de, dann das entsprechende Werk auswählen, dann in der linken Spalte große Überschrift "Zusatzprodukte", darunter "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln". Klicken Sie dort bitte den Teil des Buches an, zu dem Sie Zusatzmaterialien suchen, dann finden Sie im nächsten Fenster in der rechten Spalte das Zusatzmaterial.)

zu Kap.24.5, Minuszeichen S.810 

Frage: Stimmt das Minus-Vorzeichen S.810 unten? Ich dachte, man könnte mit dx, dy, dz wie mit Brüchen rechnen, so wie doch auch bei der Kettenregel: df(x(t))/dt = df/dx * dx/dt (ich erweitere mit dx).

Antwort: Ja, das Minuszeichen stimmt! Teils verbreitete Faustregeln wie die von Ihnen angesprochene sind daher gefährlich. Am besten ist, man macht sich stets klar, um welche Begriffe es sich handelt und welche Regeln gelten. Rein formales Operieren durch Analogschluss kann aufs Glatteis führen, wie dieses Beispiel zeigt.

zu Teil IV, Mannigfaltigkeiten 

Frage: Die Begriffe "Mannigfaltigkeit", "Atlas", Karte" sind im Stichwortverzeichnis nicht angeführt. Gibt es Kapitel/Abschnitte, in denen diese Themen behandelt werden , evtl. unter anderen Bezeichnungen?

Antwort: Eine Behandlung von Mannigfaltigkeiten würde den Rahmen des Werks sprengen. Sie finden im Bonusmaterial zu Kap.26 Informationen dazu und weiterführende Literaturangaben. Möglicherweise sind für Sie auch die Ausführungen im Bonusmaterial Kap.27 zu Differenzialformen von Interesse.

zu S.783, Koordinatenrichtungen  

Frage: Auf S. 783, in der oberen Hälfte der rechten Spalte wird ausgeführt, dass die Untersuchung des Überganges $x_k^(n) \to \tilde{x}_k$ für beliebige Koordinatenrichtungen $k$ gelten muss, wenn denn Stetigkeit vorliegen soll. Heißt in diesem Zusammenhang "Koordinatenrichtung" denn soviel wie Dimension, also bei einer Funktion von drei unabhängigen Variablen gibt es drei Koordinatenrichtungen ?

Antwort: In einen $n$-dimensionalen (Vektor)raum kann man stets ein Koordinatensystem legen, das durch $n$ linear unabhängige Basisvektoren $\V{b}_j$, $j=1,\dots,n$ beschrieben wird (siehe auch Abschnitt 15.4). Jeder dieser Vektoren definiert dabei eine Koordinatenrichtung, es gibt in $n$ Dimensionen also tatsächlich $n$ derartige Richtungen, denen jeweils eine Achse des Koordinatensystems entspricht. Im Fall eines orthogonalen
Koordinatensystems (wie es das hier verwendete kartesische System ist) stehen diese Richtungen und damit die Achsen jeweils normal aufeinander. Das Thema allgemeiner Koordinatensysteme wird in Abschnitt 26.6 aufgegriffen und dort genauer diskutiert.

zu Kapitel 26 - Seite 868 

Frage: Woher kommt beim Aufstellen der Vektoren an s der Summand Ommikron ( von Epsilon zum Quadrat) zustande?

Antwort: Man kann den Ausdruck als Taylor-Entwicklung um den Punkt s auffassen. In dem Term O(epsilon^2) sind der quadratische Term der Taylor-Entwicklung und alle höheren Terme zusammengefasst.

zu Kap.24, (partielles) Differenzial 

Frage: Ist die partielle Ableitung (immer) identisch mit dem partiellem Differential? Ich meine ja, bin aber in der Begrifflichkeit etwas verunsichert.

Antwort:
Den Ausdruck "partielles Differential" versuchen wir nach Möglichkeit zu vermeiden, da er eher Verwirrung stiftet. Was man betrachten kann ist die Änderung einer Funktion bei einer kleinen Änderung \Delta x_i eines ihrer Argumente, also
\Delta_i f(x_1,\dots,x_n)
= f(x_1,\dots,x_i+\Delta x_i,\dots,x_n) - f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n).
Das lässt sich für jede Funktion definieren (solange man innerhalb von D(f) bleibt), egal ob sie (partiell) differenzierbar ist oder nicht. Wenn f allerdings partiell differenzierbar ist, dann gilt auch
\Delta_i f(x_1,\dots,x_n) = \partab{f}{x_i}(x_1,\dots,x_n \Delta x_i
+ Fehler zumindest quadratisch in \Delta x_i,
und dann kann man \Delta_i f (meistens mit \Delta -> d) auch als partielles Differenzial bezeichnen.
Der Begriff wird allerdings wenig verwendet; wenn, dann benötigt man im Mehrdimensionalen eher das (totale) Differenzial, siehe S. 792f.

Zu Kap. 24, Seiten 789, 804 (Satz von Schwarz, Integrabilitätsbedingungen)  

Frage: Gibt es einen Unterschied zwischen dem Satz von Schwarz und der Integrabilitätsbedingung? Diese sehen in manchen Formulierungen nahezu gleich aus.

Antwort:
Die Integrabilitätsbedingung hat tatsächlich ihre Wurzeln im Satz von Schwarz; die Bedeutung und Zielsetzung ist allerdings eine andere. Der Satz von Schwarz stellt fest, dass die Reihenfolge des Bildens von partiellen Ableitungen in vielen Fällen (nämlich dann, wenn die höchste relevante Ableitung zumindest noch stetig ist) egal ist.
Später fragt man sich dann, unter welchen Umständen sich zwei oder mehr Funktionen als Ableitungen der gleichen (Stamm)funktion nach verschiedenen Variablen darstellen lassen. Auch für derartige Ableitungen muss natürlich der Satz von Schwarz gelten, und so gelangt man unmittelbar zu den Integrabilitätsbedingungen.

zu Kap.24. Differenzierbarkeit vs. Richtungsableitungen 

Frage: Warum kann man bei manchen Funktionen, die nicht differenzierbar sind, trotzdem Richtungsableitungen in jede Richtung bilden?

Antwort:: Differenzierbarkeit ist eine viel stärkere Eigenschaft als bloß die Existenz aller Richtungsableitungen. Stellt man sich (für eine Funktion von zwei Variablen) den Funktionsgraphen als Fläche vor, so bedeutet die Existenz einer Richtungsableitung, dass sich im relevanten Punkt an eine bestimmte Kurve auf dieser Fläche eine Tangente legen lässt.. Damit die Funktion tatsächlich differenzierbar, also linear approximierbar sein kann, müssen diese Tangenten aber nicht bloß existieren, sondern auch alle in einer Ebene liegen. Das schlägt sich genau in der Gleichung $\frac{\partial f}{\partial \ua}=\ua\cdot\grad f$ nieder, die eine notwendige (aber keine hinreichende) Bedingung für die Differenzierbarkeit ist.

zu Kap.28, Bsp. S.943 unten  

Frage: Seite 943 rechts unten, die eingebene Lösung ist nicht vollständig. Vor der Wurzel sollte ein +- stehen.

Antwort: Bei der Lösung der Differentialgleichung durch Separation wird der Anfangswert y(0)=0 berücksichtigt. Daher hat die angegebene Lösung auch keine Integrationskonstante mehr. Durch die Berücksichtigung des Anfangswert scheidet das positive Vorzeichen der Wurzel aus.

Kap.25, Aufg. 25.4b 

Frage: Warum gilt für die Transformation von "Phi" das Intervall (0,pi/4)? Intergration über den Bereich B gemäss Lösung sollte ein Viertel des Volumens einer Kugel ergeben. Mit dem angegeben Bereich erhalte ich das Volumen V(K)= pi/6, also ein Achtel.

Antwort: Sie haben Recht, das Intervall sollte bis 2pi/4 = pi/2 gehen. Wir nehmen die Korrektur auf die aktuelle Errataliste auf. Vielen Dank für Ihren Hinweis. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

Kap.28, S.960 rechts. Beispiel  

Frage: Bei dem Beispiel mit dem linearen DGL-System, ist der Vektor (1/x,-1/x^2) wirklich eine Lösung des Systems?

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt ein Fehler vor. Die Matrix ist falsch angegeben. Die Korrektur ist auf der Errata-Liste zu finden. Vielen Dank für den Hinweis. Wir bitten Sie, den Fehler zu entschuldigen.

Kap.24 Symbol für "transponiert" 

Frage: Hat es einen tieferen Sinn, dass die transponierte Matrizen und Vektoren zum Teil (wie sonst üblich) mit einem echten "T" bezeichnet werden, im Kapitel 24 aber (z.B. S. 782, Beispiel Richtungsgrenzwerte) mit einem umgedrehten "Senkrechtzeichen" (auch z.B. beim Standardskalarprodukt im Bucheinband hinten)?

Antwort: Die notationellen Unterschiede haben keinen tieferen Sinn, sowohl das hochgestellte "T" als auch das "\top" (umgedrehtes Senkrechtzeichen) sind in der Literatur verbreitet. Wir bedauern, dass die Notation für "transponiert" in dem Buch nicht ganz einheitlich ist.

zu Kapitel 28, Anwendungsbeispiel Seite 958  

Frage - Die ersten drei Gleichungen stimmen mit derAbbildung 28.12 überein, dann wird I3(t)=Q'(t) gesetzt. Richtig muss es I2(t) sein. Die nächsten beiden Gleichungen sind richtig, wenn I2(t) durch I3(t) ersetzt wird. Die

Antwort: Ich nehme an, dass Sie den Erstdruck oder den ersten korrigierten Nachdruck vorliegen haben. Der Fehler ist im zweiten Nachdruck bereits korrigiert: In der Abbildung 28.12 waren I_2 und I_3 vertauscht. Im zweiten korrigierten Nachruck ist die Rechnung komplett richtig. Die Verwirrung mit Abbildung 28.13 entsteht vermutlich auch dadurch, dass Sie erwartet haben, dass I_2 = Q' ist, da dies in Abbildung 28.12 fälschlicherweise so dargestellt war.
Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.
Zur Rechnung: Die Gleichungen aus der rechten Spalte v. S. 958 erhält man, indem man die Gleichungen aus der linken Spalte unten wie folgt kombiniert:
Glg 1 rechts = Glg 1 links - Glg 2 links (I_2' wird eliminiert)
Glg 2 rechts = R_2 mal Glg 1 links + R_1 mal Glg 2 links (Q' wird eleminiert)

zu Kapitel 29, S.993, Methode von d'Alembert 

Frage:

Frage: Ich habe eine Frage zur Lösung der Wellengleichung nach d'Alembert.Ist es möglich genauren Aufschluss oder Hinweise zu folgeden Rechenschritten zu erhalten: Ich komme gut mit bis ∂^2(E,n)/∂E∂n=0. Dann folgt die Klammer "(siehe das Beispiel auf Seite 988) Ab da kann ich mir zunehmend beim besten Willen keinen Aufschluss mehr über den weiteren Rechenweg geben, auch nach mehrwöchiger (!) Recherche, Nacharbeiten etc. Speziell der Integrationsweg mit v(0/n) ff. ist mir schleierhaft.Wäre für sämtliche HIlfen und Anregeungen (auch einfach zum Nachschlagen) sehr dankbar!
Antwort: Über der Klammer steht, dass die (zweite) partielle Ableitung von v(xi,eta) nach xi und eta identisch gleich null ist. Wenn die Ableitung einer Funktion (hier v nach xi abgeleitet) nach einer Variablen (hier eta) identisch null ist, hängt die Funktion nicht von der Variablen ab. Also hängt v nach xi abgeleitet nicht von eta ab, ist also für alle eta gleich, also kann man auch eta = 0 setzen (oder irgend einen anderen Wert). Dies ist die Gleichung, die nach "Also ist" steht.
Man integriert nun die Funktion nach xi und verwendet den ersten Hauptsatz ( f(x) = f(0) + Integral von 0 bis x über f(x') dx'). Der einzige Unterschied ist, dass überall noch ein eta dabei steht.
Bei der Auswertung des Integrals verwendet man dann nochmals die Gelichung hinter "Also ist", so kommt es, dass nach der Gleichung mit dem Integral in den hinteren beiden Termen nicht mehr eta steht, sondern 0.
Wenn Sie noch weitere Fragen haben, können Sie mir gerne eine Nachricht mit Ihrer E-Mail senden, dann kann ich direkt mit Ihnen Kontakt aufnehmen.

zu Kap 28 EV mit geometrischer Vielfachheit=1  

Frage: Hallo, im Beispiel auf Seite 957 im Nachdruck links oben ist eine Matrix in der Jordanschen Normalform dargestellt. Hier kann man erkennen Eigenwerte: 4 und den dreifachen EW mit geom. Vielfachheit 1.soweit OK. Dann kommt: Um weitere Lösungen zu bestimmen, lesen wir an der Matrix ab, dass (A - 2E_4)e_3=e_4 Ich verstehe nicht wie man darauf kommt: der normale Eigenvektor ist ähnlich definiert aber nicht so. Dann wird noch umgeformt: (A - 2E_4)^2 e_3=0. wie geht das?

Antwort:
Zu Ihrer ersten Frage: Notieren Sie die Matrix (A - 2E_4) und bilden Sie dann das Produkt (A - 2E_4)e_3; es kommt dabei e_4 raus.
Zu Ihrer zweiten Frage: Da e_4 ein Eigenvektor zum Eigenwert 2 ist, gilt doch (A - 2E_4) e_4 = 0. Nach obiger Rechnung gilt auch (A - 2E_4)e_3= e_4. Multipliziert man nun diese Gleichung von links mit der Matrix (A - 2E_4), so erhält man links (A - 2E_4)^2e_3 und rechts (A - 2E_4)e_4 = 0.

zu Kap. 24: positive Semidefinitheit der Hesse-Matrix und kritische Punkte 

Warum reicht positive Semidefinitheit der Hesse-Matrix nicht aus, um einen kritischen Punkt als lokales Minimum zu klassifizieren? Positive Semidefinitheit besagt doch, dass die quadratische Form in jede Richtung ansteigt oder konstant bleibt, und das müsste doch für ein Minimum genügen.

Antwort: Wenn die Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt semidefinit wird, dann bedeutet das, dass die Betrachtung der zweiten partiellen Ableitungen nicht mehr ausreicht, um das Extremalverhalten der Funktion an diesem Punkt zu beschreiben. Die Hesse-Matrix „sieht“ nicht, was Terme von höherer als quadratischer Ordnung tun. Ob es sich tatsächlich um ein Minimum (bei positiv semidefiniter Hesse-Matrix) bzw. ein Maximum (bei negativ semidefiniter Hesse-Matrix) handelt, zeigt erst eine Betrachtung der höheren Ableitungen oder eine andersartige Analyse.
So haben beispielsweise die Funktionen f ,g, R^2 -> R, mit f(x,y)=x^2+y^4 und g(x,y)=x^2-y^4 im kritischen Punkt (0,0) beide eine positiv semidefinite Hesse-Matrix. Während f dort tatsächlich ein Minimum hat, ist dieser Punkt für g ein Sattelpunkt.

zu Teil IV: Produkt zweier totaler Differenziale 

Frage: dy und dz sind totale Differenziale. dy*dz ist ihr Produkt. Wie zeigt man, dass dieses Produkt gegen Null geht – intuitiv geht das gegen Null, was aber kein Beweis ist.

Antwort: s. Link zu pdf-Datei.

Kap. 27, p.901 r. Zeile 14 v.u. (1. Auflage 2008) 

Frage: v1(x1,x1) müsste wohl v1(x1,x2) lauten?

Vielen Dank für Ihren Hinweis. Sie haben recht, hier liegt ein Tippfehler vor (in der ersten Auflage S.901, in der 2. Auflage S.911). Der Fehler ist nun zur Korrektur vorgesehen und in der Errata-Liste der 2. Auflage enthalten.
 
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