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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Teil II

Teil II: Analysis einer reellen Variablen 

Analysis einer reellen Variablen
6 Folgen – der Weg ins Unendliche
7 Stetige Funktionen – kleine Ursachen haben kleine Wirkungen
8 Reihen – Summieren bis zum Letzten
9 Potenzreihen
10 Differenzialrechnung – Veränderungen kalkulieren
11 Integrale – Vom Sammeln und Bilanzieren
12 Integrationstechniken – Tipps, Tricks und Näherungsverfahren
13 Differenzialgleichungen – Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen

Arens et al. Fragen zum Teil 2

Inhaltliche Fragen zum Kapitel können Sie hier stellen. Der Verlag und die Autoren bemühen sich um eine zeitnahe Antwort. Wir bitten um Verständnis, dass nur konzeptionelle Fragen beantwortet werden können, wir aber keine Übungsaufgaben etc. rechnen. Die Antwort wird bei den FAQs eingestellt

FAQs

Die Zusatzmaterialien zu den Kapiteln (Bonusmaterialien und Lösungen zu den Aufgaben) finden Sie in der rechten Spalte.

(Pfad von Beginn: www.matheweb.de, dann das entsprechende Werk auswählen, dann in der linken Spalte große Überschrift "Zusatzprodukte", darunter "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln". Klicken Sie dort bitte den Teil des Buches an, zu dem Sie Zusatzmaterialien suchen, dann finden Sie im nächsten Fenster in der rechten Spalte das Zusatzmaterial.)

zu Kap.6. S.158 Geometrische Folge ist eine Nullfolge 

Frage: Warum wird der Beweis, dass q^n für q ‹ 1 eine Nullfolge ist, über die Bernoulli-Ungleichung geführt und nicht direkt über q^n ‹ eps => n › ln(eps) / ln(q), also gibt es für jedes eps › 0 ein n, sodass q^n ‹ eps?

Antwort; Sie haben Recht, wenn man den Logarithmus und seine Eigenschaften als bekannt voraussetzt, kann man so vorgehen. Wir möchten hier jedoch nur das verwenden, was wir bereits bewiesen haben und für die Einführung der Exponentialfunktion (und des Logarithmus) benötigen wir die Potenzreihen und dazu wiederum die Folgen.

zu Kap.9 Warum ist 0/0 nicht 1? 

Frage: Warum setzt man denn nicht einfach(0/0)=(unendl/unendl)=1 und erspart sich damit all die Schwierigkeiten mit unbestimmten Formen?

Antwort: An sich ist eine Division durch Null nicht definiert, und das mit gutem Grund. Mit der so naheliegend erscheinenden Festsetzung 0/0=1 würde man sich gewaltige Probleme einhandeln: Da ja 2*0=0 ist, könnte man zum Beispiel 1 = 0/0 = (2*0)/0 = 2*(0/0) = 2*1 = 2 schließen.
In der Analysis steht ein unbestimmter Ausdruck wie 0/0 zunächst als reines Symbol für eine Größe wie f(x)/g(x) im Limes x-›x_0, wenn sowohl f als auch g für x-›x_0 verschwinden. Dieses Verschwinden (also Nullwerden) für x->x_0 kann nun für verschiedene Funktionen f und g "unterschiedlich schnell" erfolgen.
(Vergleiche z.B. f(x)=x, g(x)=2x und f(x)=2x, g(x)=x für x->0.) Entsprechend macht es auch in diesem Zusammenhang keinen Sinn, dem Symbol 0/0 einen fixen Wert zuzuweisen. Analoges gilt für (unendl/unendl) und andere unbestimmte Formen.

zu Kap.10: Warum ist bei Maximum zweite Ableitung negativ und nicht positiv?  

Frage: Warum hat man, wenn die erste Ableitung einer Funktion verschwindet, ein Maximum, wenn die zweite Ableitung negativ ist und ein Minimum, wenn sie positiv ist. Sollte das nicht umkehrt sein?

Antwort: Aus dem Satz von Taylor wissen wir, dass sich jede entsprechend oft differenzierbare Funktion in Umgebung eines Punktes x_0 durch ein Polynom annähern lässt. Es gilt also für x nahe bei x_0
f(x) ungefähr= f(x_0) + f'(x_0)*(x-x_0)
+ (1/2)f"(x_0)*(x-x_0)^2.
Hat f nun an x_0 ein Minimum oder Maximum, so ist f'(x_0)=0 und man kann f durch eine Parabel mit Scheitel in f(x_0) annähern,
f(x) ungefähr= f(x_0) + (1/2)f"(x_0)*(x-x_0)^2.
Ist f"(x_0)›0, so ist die Parabel noch oben geöffnet, und f hat in x_0 ein Minimum, ist f"(x_0)‹0, so öffnet sich die Parabel nach unten, an x_0 liegt ein Maximum.

zu Kap.12: Warum nicht einfach Division durch innere Ableitung?  

Frage: Muss man sich alle diese Umstände mit partiellem Integrieren, Substitution und PBZ wirklich machen? Kann man beim Integrieren nicht einfach durch die innere Ableitung dividieren, so wie wir das in der Schule immer gemacht haben, z.B: Integral über e^(-x^2) = - (e^(-x^2))/(2x)?

Antwort: Die Regel Integral über f(g(x)) ist F(g(x)) / g'(x) prägt sich leider tatsächlich bei vielen aus der Schule her ein - sie stimmt aber NUR im Spezialfall g(x)=a*x + b (mit Konstanten a und b), d.h. wenn die innere Ableitung g' eine Konstante ist. Schon im oben angeführten Beispiel erhält man mit dieser Regel ein falsches Ergebnis, wie man durch Ableiten des Ausdrucks auf der rechten Seite schnell nachprüfen kann. Integrationsregeln, wie sie in Kapitel 12 behandelt werden, sind keine Verkomplizierung der Sache (auch wir machen die Dinge gerne so einfach wie möglich), sondern notwendige Hilfsmittel, um mit komplizierteren Integralen umgehen zu können.

zu Kap.7: gebrochenrationale Funktion 

Frage - Bei einer Bruchgleichung kann sich eine "Lösung" außerhalb der Definitionsmenge ergeben. Geometrisch bedeutet das, dass die zur Bruchgleichung gehörige Funktion – man bestimmt ja eigentlich die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion, die sich ergibt, wenn man die Bruchgleichung nach "ist gleich Null" umformt – in ihrem Funktionsgrafen ein Loch hat. Beim Lösen der Bruchgleichung wendet man Äquivalenzumformungen an, so dass sich die Gleichung eigentlich nur "optisch" verändert. Man legt die Definitionsmenge fest. Befindet sich im Nenner der Term x – 1, legt man fest, dass x nicht 1 sein darf (oder x, dann darf x nicht 0 sein). Dann ist die Multiplikation mit dem Nenner x – 1 bzw. x eine Äquivalenzumformung. Warum passiert es nun dennoch, dass man eine "Lösung" außerhalb der Definitionsmenge erhält, wenn man doch korrekt vorgeht?

Antwort: Wie Sie schon in der Frage formuliert haben, legt man vorher eine Definitionsmenge von Zahlen fest, für die die zu lösende Gleichung Sinn macht. Allerdings sorgt die Beschränkung auf diese Definitionsmenge auch dafür, dass die durchgeführten Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Anders ausgedrückt: Nur unter der Bedingung, dass x aus der Definitionsmenge ist, handelt es sich um Äquivalenzumformungen. Steht also am Ende der Rechnung x=1 da, so ist dies keinesfalls isoliert von der Definitionsmenge zu sehen: Ist 1 kein Element der Definitionsmenge, so ist die Lösungsmenge beim Resultat x=1 leer.

zu Kap.7: nochmals gebrochenrationale Funktion 

Frage - Im Folgenden meine ich mit rechentechnisch: Wenn ich während einer Umformung z. B. quadriere - was keine Äquivalenzumformung ist -, erhalte ich evtl. eine weitere Lösung, die bei der Probe eine falsche Aussage ergibt. Ich möchte nun nochmals nachfragen, weil ich nicht verstehe, wie es rechentechnisch passieren kann: Ich schließe 1 aus der Definitionsmenge aus und erhalte am Ende der Umformung nun doch x=1. Und durch den Ausschluss von 1 zu Beginn der Umformungen führe ich doch Äquivalenzumformungen durch, so dass die Gleichung x=1 eigentlich gleichwertig (äquivalent) mit der ursprünglichen Bruchgleichung ist, aber dennoch als Lösung nicht gültig. Warum passiert das?

Antwort: Zwei mögliche Formulierungen Ihres Problems:
Unter der Voraussetzung "x ungleich 1" ist (x - 1)^2 / (x - 1) = 0 äquivalent zu x = 1.
Klarer ist:
(x -1)^2 / (x - 1) = 0 UND x ungleich 1
ist äquivalent zu
x=1 UND x ungleich 1
Die letzte Ausage ist niemals erfüllbar, daher gibt es keine Lösung.

zu Kap.6: Folgen: Konvergenz und Grenzwert 

Frage: Beim Durcharbeiten vom Kapitel zu Folgen wurde mir eine Sache nicht ganz klar, bei der Sie mir hoffentlich weiterhelfen können. Ist es mathematisch korrekt, wenn nach der Konvergenz einer Folge gefragt ist, zunächst nach einem Grenzwert zu suchen, da die Folge ja automatisch konvergiert, sofern sie einen Grenzwert besitzt? Oder muss ich immer die übliche Konvergenzuntersuchung durchführen?

Antwort: Am besten diskutieren wir dies anhand einiger Beispiele.
Betrachten wir zunächst (a_n) mit a_n = (n + 2) / (n + 1). Dann gilt lim a_n = lim [ (1 + 2/n) / (1 + 1/n) ] = 1.
Was haben wir hier genau gemacht? Die letzte Umformung ist eigentlich viel komplizierter:
lim [ (1 + 2/n) / (1 + 1/n) ] = ( 1 + lim 2/n ) / ( 1 + lim 1/n ) = 1 / 1 = 1.
Wir haben Rechenregeln für Grenzwerte angewendet! Die finden Sie in unserem Buch In der Übersicht auf Seite 162 rechts. Beachten Sie die Voraussetzungen
oben: Wenn Zähler- und Nennerfolge beide konvergieren (und die Nennerfolge nicht gegen Null), dann existiert auch der Grenzwert der Bruchfolge und ist gleich dem Quotienten des Grenzwerts des Zählers und desjenigen des Nenners.
Die Rechenregeln für Grenzwerte erlauben es einem also, die Suche nach dem Grenzwert und den Beweis der Konvergenz der Folge in einer Rechnung gleichzeitig durchzuführen!
Bei rekursiv definierten Folgen ist das nicht so einfach. Betrachten wir a_{n+1} = a_n^2 mit irgendeinem a_1. Wir nehmen an, dass diese Folge konvergiert, d.h. a = lim a_n existiert. Wegen der Rechenregeln gilt dann: a = a^2 (Fixpunktgleichung), d.h a = 0 oder a = 1. Ich habe also den Grenzwert
(genauer: 2 mögliche Kandidaten für den Grenzwert) ausgerechnet. Wähle ich aber einen Startwert a_1 > 1, so divergiert die Folge!

zu Kap. 9 Potenzreihen, S.258 

Frage: Das Beispiel auf S. 258,Bestimmung einer Potenzreihe durch Koeffizientenvergleich, verstehe ich leider nicht.

Antwort: Da die Potenzreihe zu f gesucht ist, schreibt man sich formal eine solche Reihe hin, nimmt an, dass man im Konvergenzbereich ist und formt nun die Identitaet um, sodass man, wie von Ihnen beschrieben, zu der Gleichung rechte Spalte oben kommt. In dieser Gleichung sind die Koeffizienten immer noch die Koeffizienten der Potenzreihe von f, die wir noch nicht kennen. Die Gleichung ist so geschrieben, dass links und rechts Potenzreihen um den Entwicklungspunkt $1$ stehen. (Auf der linken Seite handelt es sich nur um ein Polynom aber auch dies ist eine Potenzreihe, naemlich eine bei der bis auf zwei alle weiteren Koeffizienten verschwinden.)
Nun wissen wir, dass zwei Potenzreihen nur gleich sein koennen, wenn alle Koeffizienten uebereinstimmen. Also lesen wir die Koeffizienten zu jeder Potenz separat aus dieser Gleichung ab und setzen jeden Koeffizienten auf der linken Seite gleich dem Koeffizienten zur selben Potenz auf der rechten Seite (dies nennt man "Koeffizientenvergleich") Daraus erhaelt man die darunter zusammengestellten Gleichungen. Loest man die Gleichungen ab n=3 nach den urspruenglich gesuchten Werten a_n auf, so bekommt man eine rekursive Beschreibung dieser Zahlenfolge.
Hier ist ein Grossteil der Arbeit getan. In dem folgenden Schritt wird nun noch beschrieben, wie aus der rekursiven Darstellung der Zahlen eine explizite gewonnen werden kann. Damit lassen sich die gesuchten Koeffizienten dann in einer uebersichtlicheren Form schreiben.
Im Konvergenzbereich der Potenzreihe, wissen wir nun, dass die ermittelte Potenzreihe gleich der rationalen Funktion ist (da alle Operationen im Konvergenzkreis sinnvoll sind).

zu Kap. 6. Aufgabe 6.10 Folge c_n 

Frage: Was passiert wenn q › 1 und n gerade ist? Dies fehlt bei der Lösung. Sollte der Grenzwert nicht 1/2 betragen?

Antwort: Bei der Grenzwertdefinition ist gefordert, dass ab einem gewissen n *alle* Folgenglieder in einer epsilon-Umgebung des Grenzwerts liegen, sehen Sie bitte S.158 links oben. Ist dies nicht der Fall, so ist die Folge nicht konvergent. Im Falle der Aufgabe gibt es kein n, sodass alle Folgenglieder ab n in einer epsilon-Umgebung des Grenzwerts liegen, da es ja beliebig große ungerade n gibt. (Allerdings ist der Wert 1/2 ein Häufungspunkt der Folge; für die Definition sehen Sie bitte den optionalen Abschnitt 6.4.)

zu Kap.6, Aufgabe 6.6 Teil d 

Frage: Ich habe eine Frage bezüglich Monotonie.

Antwort: Ihre Umformung ist korrekt, wenn n › 0 ist. Dann ist aber auch 2n^2+3n › 0 und somit 1 + (1/ [2n^2+3n] › 1 und damit die Wurzel kleiner als 1, daher ist die Folge auch bei Ihrer Rechnung streng monoton fallend, in Übereinstimmung mit der Lösung im Buch.
Für n=0 (dann geht Ihre Umformung nicht, weil Sie duch 0 dividieren) ist der Quotient ohnehin 0 und somit kleiner als 1.

zu Kap.10. Differenzialgleichung, D-Glied 

Frage: Wäre es Ihnen denn möglich die Aussage aus einem

Antwort: Die Begründung ist weniger mathematisch, als vielmehr physikalisch. Ein ideales D-Glied würde die Kausalitätsbedingung verletzen. Die Kausalität besagt, dass der Wert der Eingangsgröße zur Zeit t0 das Verhalten des Systems nur für zukünftige Zeitpunkte t größergleich t0 beeinflussen kann.
Sehen Sie bitte für Details z.B. bei Lunze, Regelungstechnik 1, 6. Auflage, Springer 2007, S.67ff. Dort wird auch die Unmöglichkeit der technischen Realisierung diskutiert (der Innenwiderstand der Stromquelle müsste unendlich groß werden).

zu Kap.6, S.153  

Frage: Auf S.153 Beispiel: Zeigen Sie, dass eine Folge beschränkt ist, ist mir nicht klar geworden, wie man die Summe von 1/k! von k=1 bis n in die Summe von 1/2^k-1 umschreiben kann.

Antwort: Zunächst: Überall wo in der (Ungleichungs-)Kette "x_n kleinergleich 1 + .... " ein kleinergleich-Zeichen steht, bezieht sich dieses kleinergleich-Zeichen auf den Vergleich zur letzten Zeile rechts.
Hier also ist die Summe über 1/k! kleinergleich der Summe über 1/2^(k-1) (und nicht etwa gleich).
Evtl. war dies bereits Ihre Verständnisschwierigkeit.
Dass die Summe von k=1 bis n über 1/k! kleinergleich der Summe über 1/2^(k-1) ist, sieht man daran, dass jedes einzelne Element 1/k! kleinergleich 1/2^(k-1) ist, was wiederum daraus folgt, dass k! größergleich 2^(k-1) ist, was man am einfachsten direkt durch Ausschreiben des Produkts sieht: k! = 1*2*3*...*k (k Faktoren); 2^(k-1) = 1*2*2*...*2 (insgesamt k Faktoren), d.h. bei k! ist jeder einzelne Faktor größergleich dem entsprechenden Faktor bei 2^(k-1), und somit auch das Produkt. (Man kann es auch mit vollständiger Induktion beweisen.)

zu Kap. 13: Differentialgleichungen, Beispiel S. 439 

Frage: Bei dem Anfangswert y(1)=0 liefert das homogene Problem die konstante Lösung y=0! Warum kann man dennoch den Ansatz "Variation der Konstanten" so rigoros durchziehen? Ist es nicht geschickter, y(1)=1 zu wählen, um die Wohldefiniertheit des homogenen Problems zu gewährleisten?

Antwort: Der Ansatz "Variation der Konstanten" dient dazu, die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung zu bestimmen. Anfangswerte spielen hier keine Rolle. Erst nachdem die allgemeine Lösung bestimmt ist, werden Integrationskonstanten so bestimmt, dass die Anfangswerte erfüllt sind.
Im angesprochenen Beispiel ist es zufälligerweise so, dass die gefundene partikuläre Lösung auch die Lösung des Anfangswertproblems ist. Genauso hätte man auch von der partikulären Lösung (ln(x) + 1) / x ausgehen können. Dann muss C = -1 gewählt werden.
Übrigens: Auch wenn die Lösung des homogenen Problems die Nullfunktion ist, ist dies eine wohldefinierte Lösung. Und Anfangswerte sind üblicherweise vorgegeben (zum Beispiel durch die Art des Anwendungsproblems, das man lösen möchte), die kann man sich nicht geschickt wählen.

zu Kap.11/12: Integralrechnung  

Frage: Wenn ich eine Funktion habe, für die gilt, dass y(t = 0) = 0 und will das Integral über y(t) zwischen den Grenzen 0 und t*, das gegen 0 geht,… warum geht dieses Integral gegen 0, während y(t gegen 0) einen Wert ungleich 0 annimmt? Wie kann man das zeigen, wenn man die Funktion y(t) nicht kennt?

Antwort: Für stetige Funktionen f gilt der Mittelwertsatz der Integralrechnung (s. S.349). Wenn man hier a=0 setzt und b= t*, dann sieht man direkt, dass das Integral zwischen 0 und t* gleich f(z) mal t* ist, mit einem z zwischen 0 und t*. Wenn f zwischen 0 und t* beschränkt ist, geht der Wert f(z) mal t* für t* gegen 0 ebenfalls gegen 0.
(Diese Antwort geht davon aus, dass Sie sich bei der Frage verschrieben haben und y(t=0) ungleich 0 meinten. Falls Sie y(t=0) = 0 meinten und y(t gegen 0) ungleich 0, dann ist ist die Funktion y an der Stelle t=0 unstetig, was allerdings nichts am Wert des Integrals ändert (Die Werte der Funktion auf einer Nullmenge ändern nichts am Wert des hier verwendeten Lebesgue-Integrals.)
Fals ich Ihre Frage falsch verstanden haben sollte, melden Sie sich bitte noch einmal, am besten mit Ihrer E-Mail-Adresse.)

zu Kap.9: Beweis des Identitätssatzes für Potenzreihen (S.256)  

Frage: Beim Induktionsschritt wird der Ausdruck (z-z_0)^(N+1) ausgeklammert und im Anschluss durch diesen dividiert. Dabei muss man z ungleich z_0 voraussetzen. Im nächsten Schritt jedoch wird z = z_0 gesetzt, was vorher explizit ausgeschlossen wurde. Müsste man in diesem Fall nicht mit einer Folge arbeiten, die z_0 als Grenzwert besitzt? (vgl. Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 1, S 372)

Antwort: Es wird am Ende eigentlich nicht z = z_0 gesetzt, sondern der Grenzübergang z -> z_0 durchgeführt. Wir haben vorher schon gezeigt, dass Potenzreihen auf dem gesamten Konvergenzkreis stetig sind. Nach dem Dividieren mit (z - z_0)^{N+1} stehen auf beiden Seiten des Gleichungszeichens wieder Potenzreihen, also stetige Funktionen, deshalb ist der Grenzübergang erlaubt.

zu Kap.7/9: Dritte Wurzeln aus negativen Zahlen 

Warum muss man bei der Aufgabe 7.2 b) zwischen x größer oder kleiner 0 unterscheiden? Die dritte Wurzel ist doch für negative Zahlen definiert. So ist ja die dritte Wurzel von -27 eindeutig -3.

zu Kap.9. Potenzreihe, Konvergenz auf dem Konvergenzkreis 

Frage: Wie beweise ich das Konvergenzverhalten einer Reihe auf dem Konvergenzradius?

Antwort: Es gibt hierfür leider kein Rezept. Man muss die allgemeinen Konvergenzkriterien von Reihen zu Rate ziehen.
Manchmal hilft die Aussage: Konvergiert die Potenzreihe in irgendeinem Punkt auf dem Rand des Konvergenzkreises absolut, so tut sie dies in allen Randpunkten.

zu Kap. 8, Aufgabe 8.4 

Frage - Warum ist das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergent?

Antwort: Die in Aufg. 8.4 angegebene Reihe konvergiert nicht absolut! Begründung: Die Reihe sum a_n mit a_n = 1/n^alpha (ohne alternierende Vorzeichen) konvergiert genau dann, wenn alpha › 1. In Aufg. 8.4 ist alpha = 1/2, also divergiert die Reihe sum a_n. Die in der Aufgabe angebenen Reihe konvergiert, aber eben nicht absolut.
(Vielleicht ist dies die Ursache Ihres Missverständnisses: die
Folge a_n mit a_n = 1/n^\alpha konvergiert für alle \alpha › 0.)

zu Kap.10 Beweis der Differenzierbarkeit von Potenzreihen 

Frage: In der Vertiefung "Beweis der Differenzierbarkeit von Potenzreihen" auf Seite 300 (erster Absatz rechte Seite) wandeln Sie 1/h[(x+h)^k - x^k] in Sum_{j=1}^{k}(k über j) h^(j-1)x^(k-j) um. Wie kommen Sie darauf? Wenn ich hier die binomische Formel anwende ( a^n - b^n = ...s. erste Seite Buch) komme ich erstmal auf Sum_{j=1}^{k}(x+h)^(j-1) x^(k-j). Da sowohl das Summenzeichen als auch der letzte Term gleich sind, müsste - falls Sie oder ich keinen Fehler gemacht haben - (k über j)h^(j-1) gleich (x+h)^(j-1) sein. Diese Äquivalenz ist mir aber nicht klar.

Antwort: Es ist (allgemeine binomische Formel)
(x+h)^k = Sum_{j=0}^k (k über j) h^j x^(k-j)
Ziehen Sie x^k ab, so fällt gerade der Term für j=0 weg. Somit ist
(x+h)^k - x^k = Sum_{j=1}^k (k über j) h^j x^(k-j)
Jetzt multiplizieren Sie noch mit 1/h und die Aussage steht da.

zu Kapitel 13, Seite 441, Beispiel a)  

Frage: Die gefundenen Lösungen erfüllen nicht die Differenzialgleichung. M.E. müssen in den Lösungen die Absolutstriche weggelassen werden.

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt ein Druckfehler vor, der im zweiten korrigierten Nachdruck behoben ist. Wir bitten, den Fehler zu entschuldigen.

zu Kap.6., Aufg. 6.10 

Frage: Kann es sein, dass die Folge |bn| = n^2/2^(n/2) nicht doch für n gegen unendlich gegen Null konvergiert? Jedenfalls ist diese Folge ab n = 6 monoton fallend und sicher >0

Antwort: Sie haben Recht. Hier lag in der Aufgabenstellung ein Fehler vor: Der Faktor 2^(n/2) hat gefehlt. Dadurch ergibt sich dann die Divergenz. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen. Die Korrektur ist auf den Errata-Listen zu finden und beim aktuellen Nachdruck behoben.

zu Kap.9, Aufg. 9.11 

Frage: Im Lösungsweg dieser Aufgabe haben Sie zuerst die 2 im Nenner ausgeklammert, aber diesen Faktor haben sie im weiteren Lösungsweg nicht weiter verwendet. Also müsste man eigentlich Ihr angegebenes Endergebnis noch mit 1/2 multiplizieren. Damit hätte die Potenzreihe den Wert f(z)= 1/2 + z/4 + z²/8 + 9/2*Sigma (die Summe aller) n=3 bis unendlich von (z/2)^n.

Antwort: Sie haben Recht. Hier liegt ein Fehler vor, der Faktor 1/2 wurde vergessen. Die Korrektur ist auf den Errata-Listen zu finden. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

zu Kap.8, Aufg. 8.7b 

Frage: Bei der geometrischen Reihe muss man laut Definition mit den Index k=0 starten, sodass sie mit dem Reihenwert 1/(1-q) konvergiert. In dieser Aufgabe haben Sie im Lösungsweg mit dem Index k=1 den Reihenwert gebildet, aber meiner Meinung nach müsste man den Index erst auf 0 setzen. Dafür habe ich von der Reihe den Wert q^0 subtrahiert, was 1 entspricht. Jetzt habe ich den Reihenwert gebildet und komme so auf den Wert von (24/25)i - 7/25. Und meine Frage dazu lautet jetzt, ob dies sein kann?

Antwort: Sie haben Recht. Hier liegt ein Fehler bei der unteren Summationsgrenze in der Aufgabenstellung vor. Die Korrektur ist auch auf den Errata-Listen zu finden. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

zum Integralbegriff (Riemann vs. Lebesgue) 

Frage: Könnten Sie den entscheidenden Unterschied zwischen Riemann- und Lebesgue-integrierbar mit Worten (zwei, drei Sätze) formulieren?

Antwort: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, zu einem sinnvollen Integralbegriff zu kommen, die sich im Wesentlichen darin unterscheiden, wie Funktionen durch Treppenfunktionen approximiert werden und welche Funktionen sich dadurch als integrierbar erweisen und damit als integrierbar angesehen werden.
Der Begriff der Lebesgue-Integrierbarkeit ist der mächtigere, d.h. die Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen ist umfassender als die der Riemann-integrierbaren.
Den Unterschied zwischen der Riemann- und der Lebesgue-Theorie auf kompakten Intervallen sieht man vielleicht am besten am Lebesgue'schen Integrabilitätskriterium. Eine Funktion ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie beschränkt und fast überall stetig ist. Die Lebesgue-Integrierbarkeit schwächt beide(!) Eigenschaften ab.
Wenn ein Funktion unter verschiedenen Integralbegriffen integrierbar ist, liefern diese Integralbegriffe denselben Wert.
Für die Anwendung (Fouriertheorie etc.) hat letztendlich die Vollständigkeit des (an dieser Stelle noch zu konstruierenden) L^1 die wesentlichen Auswirkungen, die nur mit beiden Verallgemeinerungen zu haben ist.
In dieser Hinsicht ist der Lebesgue-Begriff auch erheblich mächtiger als die Konstruktion "uneigentliches Integral" bei unbeschränkten Integrationsgebiete, die natürlich immer möglich ist, wenn ein Integral über kompakte Intervalle definiert ist.

zu Kap. 7.2 Beschränkte und monotone Fktn. S. 183, rechts 

Frage: Kann es sein, dass ein x im Zähler abhanden gekommen ist, nachdem die Funktion mit einer Null addiert wurde. Eigentlich müsste doch dort weiterhin stehen x^2-1 + 1/x+1.Bei Ihnen ist das x aber nicht potenziert.

Antwort: Es steht hier (x^2-1+1)/(x+1) = x-1 + 1/(x+1). Bei dem ersten Term ist das x^2 vorhanden, bei der Umformung hin zum zweiten Term wurde benutzt, dass (x^2-1)/(x+1)= x-1 (dritte binomische Formel).

zu Kap.6. Anwendungsbox S.165 

Frage: Wie kommt man zur binomischen Formel (Mitte linke Spalte also 0 ‹ = (an - Wurzel 2) ^2), ich mein, mit welchem Grund, um den Grenzwert der rekursiven Folge zu berechnen?

Hier eine direkte Antwort:
Die Aussage a_{n+1} \geq \sqrt{x} ist nach der Rekursionsformel \"aquivalent zu a_n^2 - 2 a_n \sqrt{x} + x^2 \geq 0. Diese Überlegung wurde nur andersherum aufgeschrieben: Man startet mit der offensichtlich wahren Aussage (a_n - \sqrt{x})^2 \geq 0 und leitet daraus a_{n+1} \geq \sqrt{x} ab.
Und hier noch eine Anwort auf einer Meta-Ebene, die vielleicht hilfreich für Sie ist:
Um die Konvergenz zu zeigen, ist ein wichtiger Zwischenschritt, zu zeigen, dass die Folge a_n beschränkt ist.
Man braucht also eine Ungleichung für a_n. Oft bietet sich als Ausgangspunkt zur Herleitung einer Ungleichung eine der bekannten Ungleichungen zwischen den verschiedenen Mitteln an oder auch schlicht die Ungleichung (a-b)^2 \ge 0 \forall a,b \in \RR mit geeignetem a und b an. Aus der Ungleichung (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \ge 0 für x,y \ge 0 folgt durch Ausmultiplizieren und Umstellen direkt die Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischen Mittel: (x+y)/2 \ge \sqrt{xy}.
Zurück zu Ihrer Frage: Wenn man die Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischen Mittel direkt verwenden will, sieht man sofort, dass a_{n+1} = (a_n + x/a_n)/2 \ge \sqrt{x}.
Auf S.165 ist der Weg gewählt, dass die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischen Mittel erst noch anhand des konkreten Beispiels hergeleitet wird. Daher startet man mit (a_n - \sqrt{x})^2.
Sie haben recht, dass es nicht unmittelbar ersichtlich ist, dass man mit (a_n - \sqrt{x})^2 beginnen sollte.

Zu Kap.10: Differenzierbare Funktionen einer Veränderlichen sind stetig 

Frage - In Kapitel 10 wird das festgestellt, aber das stimmt so doch nicht immer. Ein Beispiel ist die stückweise definierte Funktion f(x):= { x^2 , für x ‹ 0 und x^2+1 , für x>=0} . Nach der Definition der Ableitung ist die Funktion an jeder Stelle, einschließlich der Stelle x=0, differenzierbar, und zwar mit f '(0)=0 (der Grenzwert existiert für x->0+ und x->0- ). Trotz der Differenzierbarkeit der Funktion f ist sie nicht stetig an der Stelle x=0 .

Antwort: Es ist korrekt, dass im Eindimensionalen aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt. Bitte beachten Sie, dass für die Differenzierbarkeit nicht ausreicht, dass linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten gleich rechtsseitiger Grenzwert des Differerenzenquotienten ist. Vielmehr muss der Grenzwert in der Definition S.238 (wie bei allen entsprechenden Grenzwerten) für jede Folge gelten (s.S. 190 unten), also z.B. auch für die Folge (-1)^n/n, die alternierend gegen x=0 konvergiert. Hieran wird ersichtlich, dass die von Ihnen angebene Funktion bei x=0 nicht differenzierbar ist. Sie erkennen dies anschaulich auch daran, dass die Funktion an der Stelle x=0 keine Tangente hat und somit nicht linear approximierbar ist.

Zu Kap.6: Seite 159 

Frage - Ich verstehe in der Spalte links 10. Zeile von unten nicht, warum rechts dann = |q -1| stehen bleibt. Es ist vorher ein = Zeichen und vor diesem Zeichen steht |q|^n |q-1|= (oder soll sein dieses)|q -1|.

Antwort: Bitte beachten Sie, dass vier Zeilen höher steht "Für alle anderen q auf dem komplexen Einheitskreis müssen wir anders argumentieren." es ist also hier |q|=1 und somit auch |q|^n = 1.

Zu Kap.6: Seite 160 (Fakultät und geometrische Reihe)  

Frage: Guten Tag, leider kann ich die Herleitung (Geometrische Reihe durch Fakultät gegen 0) nicht recht (bzw. gar nicht recht ;) ) nachvollziehen. 1) Warum oder wie kommt man dazu, das N mit |q|/N ‹ =1/2 festzulegen? 2) ab dem Punkt ‹ 1/2 ist mir die weitere Herleitung der Formeln nicht klar, als insbesondere a) ‹ = ... ‹ = b) ((1/2)^(n-N)) * (|q| ^N /N!) und c) der Ausdruck nach "anders geschrieben"

Antwort: Vielleicht ist hilfreich, wenn Sie die Ungleichungskette für ein konkretes n (z.B. n=3) hinschreiben. Die Idee ist, dass man jeweils Faktoren, die laut Voraussetzung (|q|/N kleinergleich 1/2, n größergleich N, also erst recht |q|/n kleinergleich 1/2) jeweils kleiner als 1/2 sind, abspaltet. Insgesamt ergeben sich dann n Faktoren die kleinergleich 1/2 sind, also ist das Produkt insgesamt kleinergleich eine Konstante mal (1/2)^n und geht sopmit gegen null für n gegen unendlich.
Damit man diese Abschätzung machen kann, setzt man vorne die Annahme |q|/N kleinergleich 1/2. Den Nachweis kann man übrigens analog auch führen, wenn man die Annahme |q|/N kleinergleich 2/3 (oder eine positive andere Zahl echt kliner als 1) gesetzt hätte.

zu Kap.2 Stetigkeit 

Frage - f(x) ist in x rechtsseitig stetig, linksseitig unstetig bzw. umgekehrt: Nennt man x dann auch Unstetigkeitsstelle?

Antwort: Die Funktion ist an der entsprechenden Stelle x_0 dann nicht stetig (stetig in dem Sinne, dass lim (f(x_n) für jede Folge (x_n), die gegen x_0 konvergiert, gegen f(x_0) geht); man bezeichnet die Stelle dann auch als Unstetigkeitsstelle.

zu Aufg. 8.d 

Frage - Bei den Lösungen zu den Aufgaben wieso ist (x^x)^x als e^LN(x*e^(x*LN(x))) zerlegt und nicht als e^(x * LN (x*e^(x*LN(x))))? Die Ableitung von x^x^x wäre dann (x^x^x*x^(x - 1)*(x*LN(x)^2 + x*LN(x) + 1)).

Antwort: Beachten Sie bitte, dass x^x^x (ohne Klammern) als x^(x^x) zu interpretieren ist und nicht als (x^x)^x (wie Sie schreiben - dies wäre einfach x^(x*x) = x^(x^2)). Sodann besteht die Idee darin, jeweils x^a als exp(a ln(x)) zu schreiben (bei 8d) ist dann a wiederum gleich x^x.
Der von Ihnen vorgeschlagene (undifferenzierte) Ausdruck enthält viermal die Variable x, kann also von daher bereits nicht korrekt sein.
Bei einer korrekten Umformung und korrekter Anwendung der Differenziationsregeln ergibt sich unabhängig von den Umformungen nach dem Differenzierung ein zu dem in der Lösung angebener äquivalenter Ausdruck. Sie können verschiedene Ausdrücke zur Probe auch mit Wolframalpha.com differenzieren (z.B. Differentiate[x^[x^x]] für Aufg. 8d).

Zu Kap 13 S 433 Runge-Kutta-Verfahren 

Frage: y(x+h)=y(x)+Integral(Grenzen: x+h, x) y'(t) dt = y(x) + h * Integral(Grenzen: 1, 0) y'(x+t*h) dt. Ich kann die Umformung mittels Änderung der Integrationsgrenzen nicht nachvollziehen. Können Sie mir bitte erklären wie das funktioniert?

Antwort: Substituieren Sie im ersten Integral t = x + hu (Übergang zur neuen Integrationsvariablen u). Dann ist dt/du = h (ergibt den neuen Faktor h vor dem Integral) und die Integrationsgrenzen werden zu u=0 und u=1. Nennen Sie dann die Integrationsvariable u wieder um zu t.

zu Kap.11, S.352, 2. Hauptsatz 

Frage: Auf Seite 352 wird im 2. Hauptsatz gesagt, daß F stetig differenzierbar und F' integrierbar sein muß. Wenn F aber STETIG differenzierbar ist, dann ist F' stetig und daher (s. Seite 345 unten rechts) bereits integrierbar. Das scheint mir doppelt gemoppelt.

Antwort: Die Voraussetzungen im Satz sind fuer die gewuenschte Allgemeinheit erforderlich. Die Funktion F' wird nur auf dem offenen Intervall als stetig vorausgesetzt, daher ist es notwendig die Integrierbarkeit von F' auf dem Intervall mit zu fordern. So ist etwa die Wurzel-Funktion, F(x)=x^{1/2}, auf [0,1] noch mit dem Satz abgedeckt. Der betrachtete Lebesguesche Integrationsbegriff erlaubt diese haeufig angewendete allgemeine Variante des 2. Hauptsatzes. Wie im Text angemerkt ist dieser Punkt auch die wesentliche Schwierigkeit im Beweis.

zu Kap.8, S.231; Absolute und einfache Konvergenz 

Frage: Auf Seite 231 unten rechts wird gesagt, daß aus absoluter Konvergenz einfache Konvergenz folgt, der Beweis aber Cauchy-Folgen verwendet. Ist es nicht einfach so, daß die Reihe der Beträge |a_n| eine konvergente Majorante der Reihe der a_n ist und somit gar nichts mehr zu zeigen verbleibt?

Antwort: Die Reihe ueber die Betraege ist zwar eine Majorante, da aber bei der Reihe ohne Betraege im allgemeinen keine Monotonie gegeben ist, folgt daraus noch nicht die Konvergenz der Reihe. Um diese Konvergenz sicher zu stellen, sehen wir hier nur den Weg ueber Cauchy-Folgen.
Nachfrage: Im Majorantenkriterium im Buch (gelber Kasten auf Seite 225) ist von Monotonie gar nicht die Rede. Es wird lediglich gefordert, daß es eine konvergente Reihe (\sum b_n) mit |a_n| \leq b_n gibt. Wenn die Reihe (\sum a_n) aber absolut konvergiert, dann kann man doch b_n=a_n setzen? Oder wurde bei der Formulierung des Kriteriums vergessen, auch noch die Monotonie zu fordern?
Antwort auf Nachfrage: Es ist richtig, das mit dem vorher angegeben Majorantenkriterium die Aussage zur Konvergenz aus der absoluten Konvergenz folgt. Aber um das Majorantenkriterium in der allgemeinen Form incl. komplexer Summanden, wie es im Buch formuliert wird, zu zeigen, wird gerade diese Tatsache benoetigt. Um eine beweisvollstaendige Darstellung zu bekommen, muesste man also die Aussagen zur absoluten Konvergenz vorziehen. Darauf wurde aus didaktischen Gruenden im Buch verzichtet. An der Stelle an der das Majorantenkriterium formuliert wird, kann mit den Mitteln (ohne Cauchy-Folge), soweit wir es sehen, nur der Spezialfall des Monotoniekriteriums hergeleitet werden, wie es im Text angedeutet ist.

Kap. 6: Aufgabe 6.6 Teil A 

Frage: Wie kommt man auf die letzte Umformung bei "Wir schreiben den Term um"? Also genauer gesagt von : n + 1 - 3n/(n+1) = n - 2 + 3/(n+1)

Antwort: Schreiben Sie 3n im Zähler als 3(n+1)-3, dann können Sie 3(n+1)/(n+1) vereinfachen und Sie haben das Ergebnis.

Kap.9: Aufgaben 9.12 

Frage: Lässt sich die Aufgabe nicht einfacher durch die Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf gebrochene Exponenten lösen? (1+x)^1/n = (2+ (x-1))^1/n = 2^1/n + 1/n* 2^(1/n - 1)*(x-1) + 1/n*(1/n-1)*2^(1/n-2)/2!* (x-1)^2 ..........

Antwort. Sie haben Recht, wenn die Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes bekannt ist, führt dies direkt zur Lösung. Allerdings muss diese Verallgemeinerung zu nächst bewiesen werden, was in dem Buch noch nicht erfolgt ist (und auch Taylor-Reihen stehen hier noch nicht zur Verfügung).

Zu Teil 2: Integration  

Frage: Muss bei der Integration von x^(- 0,5) oder x^0,5 die Stammfunktion in Betragsstriche gesetzt werden? Warum wäre das gegebenenfalls wichtig?

Antwort: Die Wurzelfunktion x^0.5 ist im Reellen nur für positive x definiert, d.h. wenn Sie integrieren, können Sie ohnehin nur über positive Werte integrieren; insofern sind bei der Stammfunktion keine Betragsstriche nötig. Analoges gilt für x^{-0.5}.
Natürlich können Sie durch Setzen der Betragsstriche eine Funktion |x|^0.5 konstruieren, die für alle reellen x definiert ist. Hier erhalten Sie die Stammfunktion durch Betrachten der verschiedenen Fälle.
(Sie können x^0.5 im Komplexen auch über negative x integrieren, entscheidend ist hier dann, welchen Zweig sie wählen; diese Fragestellung fällt in die Funktionentheorie, ich vermute, dies war nicht Ihre Frage.)

zu Kap.10: Ableitung  

Frage: Lässt sich die Eigenschaft der Ableitung, die Änderungsrate einer Funktion wiederzugeben beweisen oder muss man sich dabei auf die geometrische Anschauung verlassen?

Antwort: Zunächst müssen wir hier klar formulieren, was mit welchem Begriff gemeint ist. Es gibt im wesentlichen drei Interpretationen der Ableitung:
1. Grenzwert des Differenzenquotienten
2. lokale Änderungsrate der Funktion
3. Steigung der Tangente
Punkt 1. ist die übliche Definition der Ableitung.
Bei Punkt 2 ist zunächst der Begriff Änderungsrate zu klären. Dies ist die Änderung des Funktionswert bezogen auf eine Änderung des Arguments.
Kann zum Beispiel eine Funktion interpretiert werden als die bis zu einem Zeitpunkt zurückgelegte Strecke, so ist die Änderungsrate die zurückgelegte Strecke geteilt durch die vergangene Zeit. Dies ist gerade der Differenzenquotient. Das Wort lokal meint, dass der Grenzwert für kleine Änderungen des Arguments zu betrachten ist. Somit gibt auch 2.
nur die Definition der Ableitung wieder.
Bei Punkt 3 ist zu klären, was eine Tangente ist. Ist eine Stelle x_0 vorgegeben, so kann man Approximationen an f in einer Umgebung von x_0 durch lineare Funktionen betrachten. Hier kann man etwas beweisen: Unter allen linearen Funktionen gibt es genau eine (wir nennen sie g), bei der für den Fehler h(x) = f(x) - g(x) gilt: h(x) = o(x-x_0) für x \to x_0.
Diese Funktion nennen wir die Tangente, und man kann beweisen: Die Steigung der Tangente g ist die Ableitung von f in x_0. Dies ist die mathematisch exakte Formulierung der geometrischen Anschauung der Ableitung.

zu Kap.10: Aufgabe 10.19 

Frage: Ist es nicht einfacher die Aufgabe mit Pythagoras zu lösen? Zeichnet man auf den Rand eines Kreises mit Radius R den Turm im ersten Quadranten so auf der Kreislinie ein, dass die Turmspitze genau auf der Senkrechten zur x-Achse durch den Punkt (R,0) liegt, so ist die gesuchte Blickweite L gerade der Abstand Turmspitze zu x-Achse und es liefert der Satz von Pythagoras L^2=((R+h)^2 - R^2) , woraus man unmittelbar und ohne Tangentensteigungen zu bestimmen das Ergebnis erhält.

Antwort: Sie haben vollkommen recht. Wir werden überlegen, diese Aufgabe bei einer eventuellen neuen Auflage des Werks auszutauschen oder die Lösung anders zu formulieren.

zu Kap. 10.4, Seite 319, Relativistische Masse 

Frage: Sehr geehrte Damen und Herren, ich hätte eine Frage zur Berechnung der Taylorpolynome der relativistischen Masse. Nach meinem Verständnis ist die relativistische Masse eine Funktion der Geschwindigkeit. Demnach müsste man meiner Meinung nach zur Berechnung der Koeffizienten der Taylorpolynome die Funktion m(v) = m_0 * (1- v^2/c^2)^(-1/2) nach v ableiten. Dadurch kommt eine innere Ableitung aufgrund der Kettenregel ins Spiel. In Ihrer Berechnung wird diese innere Ableitung jedoch vernachlässigt, da Sie v^2/c^2 durch x substituieren und anschließend nach x ableiten. Ich wollte Sie fragen, warum dies hier erlaubt ist bzw. ob man durch Ihre Art in diesem Falle nicht sogar verfälschte Taylorpolynome erhält? Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.

Antwort: Sie haben recht, dass in der Anwendung zunächst nicht die Taylorpolyme von m selbst berechnet werden. Beim Ableiten von m(v) nach v muss in der Tat eine innere Ableitung -2v/c^2 berücksichtigt werden.
In der Anwendung geht es aber nur um Approximationen von m(v) durch Polynome in v. Dazu werden Taylorpolyme der Funktion f gebildet, die m(v) = f( -v^2/c^2) erfüllt. Setzt man in diese Taylorpolynome wieder x = -v^2/c^2 ein, so erhält man Approximationen an m durch Polynome. Der Fehler wird mit Abschätzungen für die Restglieder der Taylorpolynome von f kontrolliert.
Ganz oben im grün unterlegten Text steht aber, dass es sich bei den so berechneten Polynomen $\tilde{m}_j$ um die Taylorpolynome von m handelt (vom Grad 2j). Dass dies tatsächlich so ist, sieht man folgendermaßen:
Die Taylorpolynome von f sind die Partialsummen der Taylorreihe von f.
Setzt man in die Taylorreihe von f den Wert x = -v^2/c^2 ein, so erhält man eine Potenzreihendarstellung von m. Dies ist also die Taylorreihe von m, ihre Partialsummen sind Taylorpolynome von m.

zu Kapitel 13: Differenzialgleichungen Aufgabe 13.6 Beispiel (c)  

Frage - Hallo, ich habe das Buch Mathematik Arens et al und dass dazugehörige Arbeitsbuch Mathematik. Beim Lösen der oben genannten Aufgabe welche lautet x*y[x]=Sqrt[1-(y[x])^2] bin ich auf ein anderes Ergebnis gekommen als im Buch...Daraufhin habe ich mit dem CAS Mathematica nachgerechnet und es liefert mir auch ein anderes Ergebnis als im Buch...Ich habe auch die Probe mit dem Ergebnis vom Buch durchgeführt, und ich habe gemerkt, dass mit dem Ergebnis welches im Buch angeführt ist und y[x]=sinh[x+C] (C element aus R) lautet die Differenzialgleichung nicht erfüllt ist...Das Ergebnis welches mit Mathematica berechnet wurde erfüllt hingegen die Differenzialgleichung und lautet y[x]=sin[ln[x]+C]...Bitte um Antwort und im Falle, dass die Lösung im Buch doch exakt ist, bitte um Erläuterung wieso dies der Fall ist.

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt im Arbeitsbuch ein Druckfehler vor. Die Korrektur (identisch mit Ihrer Lösung) steht bereits auf der Errata-Liste zum Arbeitsbuch. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen und danken Ihnen für Ihren Hinweis.

zu Kapitel 6.2, S.157 

Frage: Ich verstehe die letzte Termumformung bei der Folge : n^2-1/n^2+1 nicht. Wie kommt man von (n^4+2*n^3+n^2+2*n)/(n^4+2*n^3+n^2-2*n-2) auf 1+ (4n+2)/(n^4+2*n^3+n^2-2*n-2)

Antwort: Bringen Sie die beiden letzten Terme auf einen gemeinsamen Nenner 1+ a/b = (b+a)/b; im Zähler ergibt sich dann eine Vereinfachung. Umgekehrt ist dies der erste Schritt der Polynomdivision: Wenn Zähler und Nenner Polynom gleichen Grads sind, kann man eine Konstante (hier:1) herausziehen, man schreibt dazu vielleicht am einfachsten c/b = (b+c-b)/b = 1 + (c-b)/b.

Zu Kap.2 Verständnisfrage 2.2 

Frage: Ihre Lösung zu Verständnisfrage Aufgabe 2.2 Die Implikationen 1-3 sind logisch richtig. Die Voraussetzung "Alle Vögel können fliegen" ist zwar fachlich falsch, daher darf wie in 2. auch die Folgerung falsch sein. Die vierte Folgerung ist bereits logisch falsch: Anmerkung: Die Prämisse der 4.Folgerung ist genau so falsch wie die Prämisse unter 2., denn sie heißt "Alle Vögel können fliegen". Libellen können fliegen. Da die Prämisse falsch ist, wie kann dann die Implikation unter 4 falsch sein. Denn auch hier müsste gelten "ex falso quod libet".Offensichtlich darf Implikation 2 "ex falso quod libet" für sich in Anspruch nehmen, nicht aber Implikation 4. Warum ? Nimmt man die Voraussetzung von 4. könnte man etwa nicht daraus schließen, dass die Bundeskanzlerin eine Libelle ist, ohne dass die Implikation dadurch falsch würde?

Antwort: Sie haben recht, in der Lösung zu dieser Aufgabe wird mit zweierlei Maß gemessen, und im Grunde geht die Aufgabe über den hier vorgestellten Teil der Logik hinaus und reicht in die klassische Disziplin der Syllogismen (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Syllogismus). Der vierte Schluss ist - und das ist in der Lösung gemeint - schon auf rein formaler Ebene unzulässig, wenn die verwendeten Begriffe noch gar keine reale Bedeutung und die Aussagen entsprechend keine Wahrheitswerte haben. Allerdings, und da ist Ihr Einwand völlig berechtigt, kann man mit "ex falso quodlibet" auch bei einer unzulässigen Schlussweise durch eine bereits falsche Prämisse eine wahre Aussage erhalten.

Thema - Zu Ergänzungen und Vertiefungen: Kap.11 Integrale  

Frage - Betr. Abschnitt: Integrale lassen sich entsprechend der Integranden abschätzen (Seite 19): Die Auswahl von passenden Vertretern f1, f2 in der Menge L^((a,b)) soll keinen Einfluss auf das Integral haben. Die Zerlegung von f = f1 - f2 = g1 - g2, resp. f1 + g2 = g1 + f2 in der Menge L^(I). Ich nehme an, dass Folgendes gemeint ist: f2(x) = neg. Teil von f(x) = max(-f,0), dasselbe für g2(x); f1(x) = pos. Teil von f(x) = max(f.0). do. g1(x). Ist diese Annahme richtig? Im Weiteren kann ich nicht mehr folgen, insbesondere bei der Ungleichung f1+g1 kleiner, gleich f2+g2. Können Sie mir bitte helfen. Besten Dank

Antwort: Die Annahme, die Sie formuliert haben, ist nicht richtig. Sehen Sie bitte unten den Quelltext mit entsprechenden Kommentaren zu Ihrer Frage. Links unten auf S.19 ab Zeile 10 von unten sind die Rollen von f_j und g_j vertauscht. Die Korrektur steht auch in der aktualisierten Version der Errata-Liste. Vielen Dank für Ihren Hinweis.
... ORIGINAL TEXT mit Kommentaren ...
%... KOMMENTAR ...
Dass der Integralbegriff unabh\"angig von der Wahl von $f_1$ und $f_2$, also wohldefiniert, ist, l\"a\3t sich wie folgt belegen:
Mit $f=f_1-f_2=g_1-g_2$ folgt $f_1+g_2 = g_1+f_2 \in L^\uparrow(I)$.
% An dieser Stelle werden keine weiteren Voraussetzungen an $f_1,f_2,g_1,g_2$ gemacht, nur dass die Funktionen alle aus % der Menge $L^\uparrow(I)$ sind, also sich von unten durch Treppenfunktionen approximieren lassen. Wir betrachten % einfach nur zwei solcher Darstellungen der Funktion $f$. Insbesondere gilt nicht notwendig die erwaehnte Festlegung auf % $f_1=max(f,0)$ etc. Uebrigens waeren bei dieser angenommen Festlegung $f_1=g_1$ und $f_2=g_2$ und es gaebe nichts % zu zeigen.
% Nun muss Gleichheit der Integrale f\"ur beide Darstellungen von $f$ gezeigt werden, ansonsten waere die Definition % ``des'' Lebesgue Integrals einer Funktion nicht wohldefiniert. Dazu betrachten wir die Situation in der Teilmenge % $L^\uparrow$, indem wir die Identitaet durch $f_1+g_2=g_1+f_2$ zu einer Identitaet von Funktionen in dieser Menge, % der von unten approximierbaren Funktionen, umschreiben.
Es bleibt somit zu zeigen, dass
daraus in $L^\uparrow(I)$ auch
$\int_a^b f_1(x)\,\D x + \int_a^b g_2(x)\,\D x = \int_a^b g_1(x)\,\D x + \int_a^b f_2(x)\,\D x$ bzw.
\[
\int_a^b f_1(x)\,\D x - \int_a^b f_2(x)\,\D x =
\int_a^b g_1(x)\,\D x - \int_a^b g_2(x)\,\D x\,.
\]
folgt.
% ... KORREKTUR ...
% Ab hier sind nun die Rollen der Funktionen $f_j$, $g_j$ durcheinander geraten. Der Text muss folgendermassen korrigiert % werden:
Dies haben wir eigentlich schon getan, denn mit der Absch\"atzung \ref{hlm:12_abschaetzung} ergibt sich f\"ur die Funktionen $(f_1+g_2),(g_1+f_2)\in L^\uparrow(I)$ mit $f_1+g_2\leq g_1+f_2$ auch
\int_a^b (f_1+g_2)(x)\,\D x\leq \int_a^b (g_1+f_2)(x)\,\D x \,.
Da sogar $f_1+g_2=g_1+f_2$ ist, lassen sich die Rollen in der Absch\"atzung vertauschen und wir erhalten die Gleichheit der Integrale
\int_a^b (f_1+g_2)(x)\,\D x =\int_a^b (g_1+f_2)(x)\,\D x \,.

Thema - Stetigkeit und diskrete Funktionen 

Frage: Können diskrete Funktionen stetig sein. Wie steht es mit der Funktion f: Q->Q und f(x))=x^2?Was genau ist der Unterschied zwischen diskreten und kontinuierlichen Funktionen. Ist Q eine diskrete Menge oder nicht? Ist Überabzählbarkeit ein Kriterium zur Unterscheidung zwischen diskrete und kontinuierlich?

Antwort:
Zunächst einmal ist es wichtig zu unterscheiden zwischen den Eigenschaften des Definitionsbereichs und den Eigenschaften der Funktion.
Zudem ist zu unterscheiden, ob man bei Diskretheit des Definitionsbereichs die Diskretheit einer Teilmenge von z.B. \RR (mit der üblichen Topologie) meint oder einen Raum mit diskreter Topologie. Eine Teilmenge einer Menge (mit gegebener) Topologie ist eine diskrete Teilmenge, wenn es zu jedem Punkt der Teilmenge Umgebungen gibt, in denen kein anderer Punkt der Teilmenge liegt (z.B. ist jede endliche Teilmenge der reellen Zahlen diskret; die rationalen Zahlen aber nicht, sie liegen dicht in \RR).
Ein Raum trägt die diskrete Topologie, wenn jede Teilmenge offen ist.
Die Eigenschaft, stetig zu sein (im Englischen "continuous") ist in Kapitel 7 für eine Funktion definiert, deren Definitionsmenge D eine Teilmenge von \RR ist. Oft kann man sich in Anwendungen darauf beschränken, dass die Definitionsmenge ein Intervall ist.
Allgemeiner definiert man die Stetigkeit von Funktionen durch die Forderung, dass das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Dies ist eine Verallgemeinerung der Definition in Kap.7 (und umfasst diese, wenn man auf \RR die übliche Topologie wählt - die durch die Metrik induzierte).
Da in diskreten Räumen (also Räumen mit diskreter Topologie) per definitionem alle Teilmengen offen sind, ist jede Abbildung von einem diskreten Raum in einen (beliebigen) anderen Raum stetig. Die Frage nach der Stetigkeit hängt also von den betrachteten Topologien ab (im Definitions- bzw. im Wertebereich).
Falls Sie an diesen Fragen interessiert sind und/oder Mathematik studieren, würde ich Ihnen ein Analysis-Werk empfehlen mit einer Einführung in topologische Begriffe.
Da das Werk "Mathematik" sich v.a. an Anwender der Mathematik richtet, sind dort diese Fragestellungen nicht angesprochen.

Thema - Konvergenzkriterien, Seite 169, Kapitel 6.5 

Frage: 1. Beispiel auf Seite 169: c_n = sqrt^n(1-x^n), für x€ (-1,1). Warum reicht der Definitionsbereich von (-1,1), wenn z.B. für x=1 der Folge sqrt^n(1-(1)^n) immer 0 ist und damit nicht gegen 1 konvergieren kann?

Antwort: Ich verstehe Ihre Frage leider nicht genau. Bitte beachten Sie, dass (-1,1) das beidseitig offene Intervall ist, also die Stelle x=1 nicht enthalten ist (und wie Sie richtig schreiben, ist der Funktionswert für x=1 immer 0). Der Beweis wird also für alle Zahlen -1 ‹ x ‹ 1 geführt.