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Springer Spektrum - Mathematik - Arens et al. | Arens et al. Journals, Academic Books & Online Media

Zusatzinformation zu Teil I

Teil I: Einführung und Grundlagen 

Einführung und Grundlagen
1 Mathematik – Wissenschaft und Werkzeug
2 Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik
3 Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik
4 Elementare Funktionen – Bausteine der Analysis
5 Komplexe Zahlen – Rechnen mit imaginären Größen

Arens et al. Fragen zum Teil 1

Inhaltliche Fragen zum Kapitel können Sie hier stellen. Der Verlag und die Autoren bemühen sich um eine zeitnahe Antwort. Wir bitten um Verständnis, dass nur konzeptionelle Fragen beantwortet werden können, wir aber keine Übungsaufgaben etc. rechnen. Die Antwort wird bei den FAQs eingestellt

FAQs

Die Zusatzmaterialien zu den Kapiteln (Bonusmaterialien und Lösungen zu den Aufgaben) finden Sie in der rechten Spalte.

(Pfad von Beginn: www.matheweb.de, dann das entsprechende Werk auswählen, dann in der linken Spalte große Überschrift "Zusatzprodukte", darunter "Zusatzmaterialien zu den einzelnen Kapiteln". Klicken Sie dort bitte den Teil des Buches an, zu dem Sie Zusatzmaterialien suchen, dann finden Sie im nächsten Fenster in der rechten Spalte das Zusatzmaterial.)

zu Kap.3 Vollständige Induktion.  

Frage: Ich muss beweisen, dass np – n durch p teilbar ist, wenn p eine Primzahl ist. Wie soll ich das machen?

Antwort: Wir können keine Aufgaben für Sie lösen. Aber als Tipp: Arbeiten Sie die Aufgabe 3.19 durch, dann werden Sie danach auch Ihre Aufgabe lösen können.

zu Kap.1: Computer vereinfachen die Mathematik nicht 

Frage - Auf Seite 5 (oben, zweiter Absatz) schreiben Sie: ”Zudem sind von Programmen gelieferte Ergebnisse sehr viel allgemeiner als notwendig oder sinnvoll“. Was will dieser Satz uns sagen?

Antwort: Üblicherweise hat man in einer Rechnung diverse implizite Voraussetzungen, die ein Computeralgebrasystem (CAS) nicht kennt (und, wenn sie nicht explizit deklariert wurde, auch nicht kennen kann). Bei der Berechnung von Fourierkoeffizienten stößt man z.B. häufig auf Ausdrücke wie cos(n \pi). Da der Index n hier stets eine natürliche Zahl ist, kann man das zu (−1)n vereinfachen – und das wird ein CAS von allein nie tun.

zu Kap. 2 Aussagenlogik/Implikation 

Frage - Ich wundere mich, dass es bei der Implikation einzig und allein auf die Wahrheitswerte ankommt, nicht aber auf den logischen Zusammenhang. Betrachten wir folgendes Beispiel: Aussage A lautet: ”Die Zahl 4 ist gerade“, Aussage B lautet: ”Ratzinger ist Papst“. Da beide Aussagen wahr sind, ist die Implikation ”wenn A dann B“ ebenfalls wahr. Trotzdem ist weder A hinreichend für B, noch ist B notwendig für A. Meines Erachtens ist eine solche Implikation weder wahr noch falsch, sondern ganz einfach unsinnig.

Antwort: Die Implikation hat diverse kontraintuitive Seiten: Eine davon ist, dass die Ausage A -> B stets wahr ist, sobald A und B wahr sind, unabhängig davon, ob es zwischen A und B tatsächlich einen Zusammenhang gibt. Die Aussagenlogik ”lebt“ allerdings in einer sehr einfachen Welt, in der es nur wahr und falsch gibt. Im oben Beispiel ist A -> B zwar wahr, hat aber sehr geringe Aussagekraft (wie auch viele andere wahre Aussagen).
Eine Möglichkeit, die Dinge zu sehen: Man könnte in diesem Beispiel oder auch generell A ersetzen durch A′: ”Die Welt ist, wie sie ist“, und hätte die Aussage ”Wenn die Welt ist, wie sie ist, dann ist Ratzinger Papst“. Zweifellos wahr, und da A als kleiner Aspekt in A′ enthalten ist, ist auch die Teilaussage A -> B wahr. Dass A -> B für alle Belange völlig nutzlos ist, trifft natürlich zu, geht aber bereits über die Aussagenlogik hinaus. Solche Bewertungen erfordern einen umfassenderen Kontext.

zu Kap.3: Beispiele S.50 oben, Äquivalenzumformungen, Frage 1) 

Frage: Was ist nun wirklich der Haken, dass man durch (x – 1) nicht teilen darf? Nach Ihrer Definition einer Äquivalenzumformung auf Seite 49 ist es ja ein korrekter Schritt, den ich hier durchführe – es sei denn, dass Sie zu Beginn x = 1vorausgesetzt haben, was es dann natürlich nicht erlaubt, durch (x – 1) zu teilen. Aber für x ungleich 1 wäre das doch möglich, diese Division durchzuführen, oder? Und würde dann auch zu keinem unsinnigen Ergebnis führen...

Antwort: Auf Seite 49 steht, dass man auf beiden Seiten einer Gleichung addieren oder multiplizieren, von einer Division ist keine Rede. Betrachten wir die 4. und 5. Zeile des Beispiels:
4. Zeile: x-1 = (x+1)(x-1)
5. Zeile: (x-1)/(x-1) = (x+1)(x-1)/(x-1)
Hier bei ist strenggenommen etwas weggelassen worden, nämlich diejenigen x, für die diese Aussagen definiert sind (also Sinn machen). Die erste Aussage macht für alle reellen x Sinn, die zweite nur für alle x ungleich 1. Deswegen sind die beiden Aussagen nicht äquivalent. Schränkt man bei der ersten Aussage die Menge der x ein, für die sie betrachtet werden, schreibt man also
x-1 = (x+1)(x-1) für alle x ungleich 1,
so ist dies äquivalent zur 5. Zeile.
Allgemein ist also die Division eine Äquivalenzumformung, sofern sichergestellt ist, dass man nicht durch Null dividiert.

zu Kap.3: Beispiele S.50 oben, Äquivalenzumformungen, Frage 2a) 

Frage: Wenn ich bei der Aufgabe x + y = 9 nach dem Wurzelziehen Betragsstriche setzen und die Aufgabe hier abbrechen würde, dann wäre doch alles korrekt? Oder könnte ich dann irgendwie zur Ungleichung 4 ‹ 5 gelangen?

Antwort: Ja, Sie haben natürlich recht: Die Aussage (x -9/2)^2 = (y - 9/2)^2 ist äquivalent zur Aussage | x - 9/2 | = | y - 9/2 |.
Sie glauben aber gar nicht, wie oft wir in Übungen und Klausuren sehen, dass die Betragsstriche nicht gesetzt werden.

zu Kap.3: Beispiele S.50 oben, Äquivalenzumformungen, Frage 2b) 

Frage: Warum ist es z. B. bei (x – 2)^2 = 0 kein Problem, 'einfach' die Wurzel zu ziehen, und bei Ihrem Beispiel führt es ins 'Chaos'?

Antwort: Zunächst formt man äquivalent um, mit Betragsstrichen
| x - 2 | = | 0 |
Die rechte Seite ist aber Null, ganz egal ob ich den Betrag hinschreibe oder nicht:
| x - 2 | = 0
Also ist auch die linke Seite Null, ganz egal ob ich den Betrag hinschreibe oder nicht:
x - 2 = 0
Es ist also (x-2)^2 = 0 tatsächlich äquivalent zu x - 2 = 0. Beide Gleichungen haben dieselbe Lösungsmenge.

zu Kap.3: Beispiele S.50 oben, Äquivalenzumformungen, Frage 3) 

Frage: Das ist noch eine andere Frage: Wenn eine Bruchgleichung eine Lösung hat, die nicht in der Definitionsmenge liegt – wie kann man sich denn so ein Phänomen erklären, also dass es eine Lösung gibt, die eigentlich nicht sein darf?

Antwort: Grundsätzlich gilt aber zunächst: Wenn eine Gleichung für ein x nicht definiert ist, so kann dieses x nicht Lösung der Gleichung sein. Das meinen Sie auch gar nicht, sondern dass Sie diese Gleichung erst umformen, und dann ergibt sich eine "Lösung" außerhalb der Definitionsmenge.
Die Antwort bietet das Kapitel 7 (stetige Funktionen). Man betrachtet die zu den Ausdrücken gehörigen Funktionen und untersucht, ob sich diese stetig in die Stellen fortsetzen lassen, in denen die Ausdrücke nicht definiert sind.
Ist das der Fall, so kann man von einer Lösung im Sinne dieser stetigen Fortsetzung sprechen.
Als Beispiel: Zeichnen Sie einmal die Graphen der folgenden Ausdrücke:
x(x-1) / (x-1) für x ungleich 1,
2 - x für x reell
In welchem Sinn gibt es also eine Lösung der Gleichung
x(x-1) / (x-1) = 2 - x ?

zu Kap.3: Äquivalenzumformungen 

Frage: Warum ist die die Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null eine Äquivalenzumformung, aber die Multiplikation mit einem Term, z. B. (x -1), nicht?

Antwort: Die Multiplikation mit einem Term, z.B. (x-1) ist eine Äquivalenzumformung, sofern gewährleistet ist, dass dieser Term ungleich Null ist. Dies ist ganz analog dazu, dass die Multiplikation mit einer Zahl eine Äquivalenzumformung ist, sofern gewährleistet ist, dass die Zahl ungleich Null ist. Einer Zahl sieht man es jedoch einfach an, ob sie ungleich Null ist oder gleich Null. Bei einem Term können i.A. beide Fälle auftreten (im Beispiel oben ist für x=1 der Termin gleich Null). Wenn man sicher ist, dass der Termin stets ungleich Null ist (d.h. diese beweisen kann, z.B. x^2 +1 für reelle x), ist die Multiplikation mit diesem Term eine Äquivalenzumformung.

zu Kap.3. Äquivalenzumformungen bei gebrochenrationaler Funktion 

Frage - Bei einer Bruchgleichung kann sich eine "Lösung" außerhalb der Definitionsmenge ergeben. Geometrisch bedeutet das, dass die zur Bruchgleichung gehörige Funktion – man bestimmt ja eigentlich die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion, die sich ergibt, wenn man die Bruchgleichung nach "ist gleich Null" umformt – in ihrem Funktionsgrafen ein Loch hat. Beim Lösen der Bruchgleichung wendet man Äquivalenzumformungen an, so dass sich die Gleichung eigentlich nur "optisch" verändert. Man legt die Definitionsmenge fest. Befindet sich im Nenner der Term x – 1, legt man fest, dass x nicht 1 sein darf (oder x, dann darf x nicht 0 sein). Dann ist die Multiplikation mit dem Nenner x – 1 bzw. x eine Äquivalenzumformung. Warum passiert es nun dennoch, dass man eine "Lösung" außerhalb der Definitionsmenge erhält, wenn man doch korrekt vorgeht?

Antwort: Wie Sie schon in der Frage formuliert haben, legt man vorher eine Definitionsmenge von Zahlen fest, für die die zu lösende Gleichung Sinn macht. Allerdings sorgt die Beschränkung auf diese Definitionsmenge auch dafür, dass die durchgeführten Umformungen Äquivalenzumformungen sind. Anders ausgedrückt: Nur unter der Bedingung, dass x aus der Definitionsmenge ist, handelt es sich um Äquivalenzumformungen. Steht also am Ende der Rechnung x=1 da, so ist dies keinesfalls isoliert von der Definitionsmenge zu sehen: Ist 1 kein Element der Definitionsmenge, so ist die Lösungsmenge beim Resultat x=1 leer.

zu Bonusmaterial: Äquivalenz von Induktions- und Wohlordnungsprinzip 

Frage - Im Bonuskapitel zur elementaren Zahlentheorie sprechen Sie das „Wohlordnungsprinzip“ an, welches besagt, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element besitzt. Dass das Wohlordnungsprinzip zum Induktionsprinzip äquivalent ist, konnte ich anhand von Beweisen in der einschlägigen Literatur nachvollziehen. Demnach muss es möglich sein, jeden Induktionsbeweis durch einen Beweis mittels Anwendung des Wohlordnungsprinzips („Methode des kleinsten Verbrechers“) zu ersetzen (und umgekehrt). Als Beispiel hierfür habe ich versucht, die Gültigkeit der Aussage A(n): 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n = 1/2 n (n+1) für alle natürlichen Zahlen n mit dem Wohlordnungsprinzip zu beweisen und kam zu folgender Argumentation: Sei K die (nichtleere) Menge aller natürlichen Zahlen n, für die A(n) nicht gilt. Nach dem Wohlordnungsprinzip hat K ein kleinstes Element k := min K. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass wenn A(k) falsch ist, A(k-1) ebenfalls nicht erfüllt sein kann. Wegen k-1 ‹ k ist dies ein Widerspruch zu k = min K. Die Annahme, es gäbe natürliche Zahlen, für die A(n) nicht erfüllt ist, muss somit falsch sein. Daraus folgt die Behauptung. Nun wundere ich mich über folgendes: Während bei der vollständigen Induktion neben dem Schluss von n auf n+1 immer auch der Induktionsanfang, also die Gültigkeit von A(n) für n = 1 gezeigt werden muss, scheint bei der „Methode des kleinsten Verbrechers“ nichts dergleichen erforderlich zu sein. Demnach ist anscheinend der oben skizzierte Schluss von k auf k-1 „mächtiger“ als der Schluss von n auf n+1. Ist das tatsächlich so? Wo liegt der Fehler?

Antwort: Bei Ihrem Beweis sollten Sie noch begründen, daß k ungleich 1 ist, sodass der Schluss von k auf k-1 sinnvoll ist. Ansonsten ist Ihre Begründung korrekt.
Beim (üblichen) Beweis der Gleichwertigkeit vom Induktions-und Wohlordnungsprinzip wird auch die Fallunterscheidung k gleich bzw. ungleich 1 gemacht.

zu Kap.3.2: Demonstration Nicht-Äquivalenzumformung 

Frage: Da ja eine Multiplikation mit 0 auf beiden Seiten keine Äquivalenzumformung ist, muss ich dann nicht immer, wenn ich eine Gleichung mit einer Variablen (oder einem Term) multipliziere, die Annahme treffen, dass diese/r ungleich 0 ist? Also müsste ich dann im zweiten Beispiel bei der Multiplikation mit (x-y) nicht die Annahme treffen dass x ungleich y ist? Somit wäre das ja dann auch ein Widerspruch zur vorletzten Zeile x=y. Und ist im ersten Beispiel die Multiplikation mit x ohne eine Annahme zu treffen nicht auch fehlerhaft? x könnte ja auch 0 sein.

Antwort: Ja, bei der Multiplikation von Gleichungen mit Ausdrücken, die von Variablen abhängen, muss man in der Tat darauf achten, wo diese Ausdrücke Null werden.
Multipliziert man zum Beispiel die Gleichung x^2=4 (die die Lösungsmenge L={-2,\,2} hat) mit x, so erhält man die Gleichung x^3=4x mit der Lösungsmenge L={-2,\,0,\,2}. Die Multiplikation mit einem variablen Ausdruck hat hier die L"osungsmenge verändert. (Hingegen wäre die Multiplikation mit x^2+1 oder e^x unproblematisch, da diese Ausdrücke für kein reelles x verschwinden.)
In den konkreten Beispielen auf Seite 50 sind die Umformungen tatsächlich nur dann Äquivalenzumformungen wenn x ungleich 0 ist bzw. (x-y) ungleich 0 ist. Mit der bereits getroffenen Wahl x=1 bzw. (x,y)=(4,5) ist das jedoch beides erfüllt; der Fehler
wird jeweils erst später gemacht.

zu Kap.3: S.65, Geometrische Summenformel 

Frage - Die Herleitung im Buch funktioniert und wird auch im Internet überall verwendet, aber sie erscheint mir einfach nicht 'logisch' so wie die Herleitung der Arithmetischen Summenformel... Kann man das auch so herleiten, dass es logisch erscheint (also ohne plötzlich *p usw. was für mich nicht logisch ist)? Oder verstehe ich die Mathematik falsch, wenn ich glaube das alles in ihr logisch ist?

Antwort: Ersetzen wir in der Formulierung dieser Frage "logisch" doch lieber durch "naheliegend". Logisch im Sinne von Konsistenz und Korrektheit ist die Herleitung der Summenformel ja - nur eben nicht unbedingt naheliegend. Ebenso ist es vielleicht nicht wirklich naheliegend, x^2-2x-8 als x^2-2x+1-9=(x-1)^2-9 zu schreiben, und doch kann das sehr nützlich sein.
Vieles in der Mathematik ist zwar durchaus naheliegend, und einen Trick, den man an einer Stelle einmal gesehen hat, kann man oft bei vielen anderen Problemen wieder
gebrauchen. Zumeist ist Mathematik jedoch ein sehr kreativer Prozess, in dem es wichtig ist, auch gelegentlich "um die Ecke" denken zu können. Vom großen Mathematiker David Hilbert ist (in unterschiedlichen Fassungen) eine dazu passende Anekdote überliefert: Gefragt, was aus einem seiner Studenten geworden sei, soll er geantwortet haben: "Der ist Schriftsteller geworden. Für die Mathematik fehlte es ihm an Phantasie."
In der angewandten Mathematik ist derartige Kreativität (glücklicherweise) nur selten erforderlich. Will man keine neuen Zusammenhänge auffinden und beweisen, sondern
konkrete Anwendungspobleme lösen, genügt es zumeist, die mathematischen Grundkonzepte verstanden und eine Handvoll Grundtechniken parat zu haben.

zu Kap. 2: Russell'sche Antinomie 

Frage - Zur Illustration der Russell'schen Antinomie führen Sie auf Seite 26 das Barbier-Beispiel an: "In einem Dorf ist es Aufgabe des Barbiers, alle Männer zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren." Mit der Frage "Muss er sich selbst rasieren?" suggerieren Sie, dass diese Formulierung auf einen Widerspruch au Russell hinausläuft. Nach meinem sprachlichen Gefühl ist dies jedoch nicht unbedingt der Fall, da nicht ausgeschlossen ist, dass der Barbier zusätzlich zu den Fremdbarbierten auch Männer rasiert, die sich selbst rasieren - in diesem würde er die Position des Barbiers und Barbierten in Personalunion übernehmen. Um als Beispiel für eine Russell'sche Antinomie zu dienen, müsste die Bedingung wie folgt lauten: "In einem Dorf muss der Barbier alle Männer rasieren, die sich nicht selbst rasieren, und niemanden sonst." (Strenggenommen müsste auch noch vorausgesetzt werden, dass der Barbier selbst zur Dorfgemeinschaft gehört und kein fahrender Haarkünstler ist.)

Antwort: Sie haben Recht, die übliche Formulierung ist unpräzise (und damit gerade in einem Kapitel, das den Stellenwert präziser Sprache betont, problematisch).
Präziser wäre zu schreiben
statt "Aufgabe des Barbiers, alle Männer zu rasieren"
"Aufgabe des Barbiers, genau die Männer zu rasieren"
und dann auch gleich
statt "einen eigenen Katalog für Kataloge, die sich"
"einen Katalog allein für Kataloge, die sich".

zu Bonusmaterial: Elementare Zahlentheorie 

Frage - Im Beweis zu "Jede natürliche Zahl ist ein Produkt von Primzahlen" wird die Existenz einer kleinsten natürlichen Zahl n, die nicht Produkt von Primzahlen ist, angenommen. Wegen des vorhergehenden Satzes existiert aber auch zu dieser Zahl ein Primteiler p, d.h. n = p a für ein a (aus N). Wäre es hier als Alternative zum Beweisgang im Text möglich, zu sagen, dass nun a ebenfalls nicht Produkt von Primzahlen ist und, da a kleiner als n, ein Widerspruch zur angenommenen Minimalität von n besteht?

Antwort: Diese Argumentation ist korrekt (aber sie unterscheidet sich nicht wesentlich zum Beweis im Text): Sie müssen kurz begründen, dass a ungleich 1 ist (sonst wäre nämlich n eine Primzahl p) und a ebenfalls kein Produkt von Primzahlen ist (sonst wäre nämlich n ein solches Produkt) - damit sind wir wieder beim Beweis im Text. Darf ich auch darauf hinweisen, dass im Text ein Tippfehler ist: Die vorletzten Zeile des Beweises dieses Satzes auf Seite 3 lautet wie folgt:
"aber auch a=p oder ..."
Das a sollte ein n sein, also:
"aber auch n=p oder ..."

zu Kap.3 Vollständige Induktion 

Frage: Beim Beweis, dass n^p-n teilbar ist für alle p Elemente der natürlichen Zahlenmenge und damit auch für p ist Primzahl, stellt der Induktionsanfang für mich ein Probblem dar, nämlich: Für p=1 ist n^1-n=0, das Ergebnis 0 ist aber keine natürliche Zahl.

Kann man trotzdem behaupten, dass 0 durch p=1 teilbar ist, oder muss man in diesem Fall auf p=2 ausweichen. Dann wäre über eine weitere Induktion der Induktionsanfang - n^2-n ist teilbar durch 2 - zu zeigen.
Antwort: Ich nehme an, es geht hier um Teilbarkeit durch p.
(Teilbarkeit durch n ist recht offensichtlich.) Diese Aussage ist nicht für allgemeine natürliche p wahr, sondern nur dann sicher, wenn p wirklich eine Primzahl ist - siehe z.B. p=6, n=2. Man erhält n^p-n = 2^6-2 = 64-2 = 62, und diese Zahl
ist nicht durch 6 teilbar (2 Rest).
Achtung: Die Induktion muss hier (s.o.) über n, nicht über p durchgeführt werden. n->n+1, nicht p->p+1. Die Eigenschaft, dass p prim ist, geht ganz wesentlich in den Induktionsschritt ein!
Das Ergebnis Null ist hingegen keine Schwierigkeit. Dass eine ganze Zahl a durch eine andere ganze Zahl b teilbar ist, heißt ja nur, dass es eine weitere ganze Zahl c gibt, so dass b*c = a ist. Mit a=0 und der Wahl c=0 ist das für beliebige b wahr, die Null ist damit durch jede Zahl teilbar (Nullmal, Null Rest).

zu Kap.2 - leere Menge, Beweis der Eindeutigkeit Seite 26 links unten 

Frage: Der Beweis unterstellt implizit die Existenz unterschiedlicher und/oder mehrfacher Leerheiten. Leere Mengem als Nullmengen sind aber Singularitäten. Gleichwertige aber verschiedene Leerheiten sind kontradiktorisch. Demnach wäre nicht jede leere Menge Teilmenge aller Mengen. Versuch einer Auflösung: Dem Beispiel Seite 29 rechts oben zufolge ist das Zimmer nch dem Verlassen der 5 Personen bis zum Eintritt von 2 Personen eine "potentiell leere Menge" oder "defizitär leere Menge". Der Eindeutigkeitsbeweis (Teilerfremdheit) ist damit aber nicht führbar. Sie ist auch nicht Teilmenge aller Mengen.

Antwort: Der saubere Aufbau der Mengenlehre würde den Rahmen unseres Buches bei weitem sprengen und wäre wohl auch für die meisten LeserInnen nur wenig hilfreich.
Für alle praktischen Zwecke ist die "naive" Mengenlehre, wie sie in Kap.2 präsentiert wurde, ausreichend. In dieser ist die Eigenschaft, kein Element zu haben, ausreichend,
um die leere Menge zu definieren. Der Eindeutigkeitsbeweis ist in diesem Sinne nur als zusätzliche Verdeutlichung zu sehen. Verschiedene Kategorien von leeren Mengen könnten in der modernen Mengenlehre durch ein relevantes Thema sein, das geht allerdings über die Anwendermathematik weit hinaus.

zu Kap.2, Aufgabe 2.13 

Frage: Sie schrieben in der Aufgabenstellung: Dabei muss mindestens ein ak ungleich 0 sein. Wäre jetzt nur a0 ungleich 0 erhielte man den Widerspruch: a0=0. Sehe ich das richtig, dass in Ihrer Aufgabenstellung besser formuliert worden wäre: Dabei muss mindestens ein ak ungleich 0 sein, außer a0 alleine?

Antwort: Der Einwand ist nicht ganz unberechtigt. Hier geht
es allerdings um Lösungen x der besagten Gleichung, nicht darum, ob man global wahre oder falsche Aussagen erhält. Auch die Gleichung x^2-1=0 ist ja für fast alle reellen x falsch - Ausnahmen sind lediglich die beiden Lösungen x=1 und x=-1 der Gleichung.
Im Fall, dass a_1=a_2=...=a_n=0 und a_0 ungleich Null ist, erhält man tatsächlich eine falsche Aussage, a_0=0, die Lösungsmenge ist also leer. Eine solche Gleichung "erzeugt" demnach keine algebraische Zahl und ist für die Aufgabe irrelevant. Wären hingegen alle a_k=0, so hätte man die Gleichung 0=0 vorliegen, die von jedem reellen x gelöst wird. Diesen Fall muss man vermeiden.

zu Kap.2: Aufgabe 2.26 

Frage: Ich habe mich heute u.a. mit dieser Aufgabe beschäftigt und bin nun etwas über ihre Aussagen in der Ruprik Lösungswege verwundert. Hier heißt es "Für die konjunktive Normalform müssen wir die Argumentation gerade umdrehen. Hier orientieren wir uns
an jenen Zeilen, die ein f liefern:"
Die beiden Aussagen jedoch
(NICHT A) ODER (NICHT B) ODER C
(NICHT A) ODER B ODER C
stammen aus Zeilen, die ein w ergeben. Ist dieser Umstand jetzt auf einen Druckfehler zurückzuführen oder ist die Herleitung dieser Normalform falsch?
Antwort: Die Herleitung ist korrekt; die Beschreibung allerdings zugegebenermaßen ein wenig knapp. Man orientiert sich in der Tat an den Einträge, die f liefern; es gehen dann allerdings die negierten Variablen ein. So liefert für H z.B. die Kombination A=w, B=w, C=f eine falsche Aussage. In die konjunktive Normalform geht damit der Eintrag (NICHT A) ODER (NICHT B) ODER C ein. Dieser ist nur dann falsch, wenn eben A=w, B=w und C=f ist. Ebenso erhält man die drei anderen angeführten Ausdrücke, die nun alle mittels UND verknüpft werden. Wenn nun eine der vier spezifischen Kombinationen (w, w, f), (w, f, w), (w, f, f) oder (f, w, f) auftaucht, wird die entsprechende Teilaussage und wegen des UNDs auch die Gesamtaussage falsch.
Frage: Ich weiß, dass Fragen zu Aufgaben ja eher nicht erwünscht sind, aber probieren geht ja über studieren :).
Antwort: Wir können natürlich nicht beliebige Aufgaben rechnen oder erklären (das würde wohl unser Zeitbudget sprengen und zudem die Intention unserer Kollegen unterlaufen, dass Übungsbeispiele von den Studierenden weitestgehend selbstständig gerechnet werden sollen). Fragen zu den im Buch angeführten Aufgaben beantworten wir aber natürlich gerne (und werden die Antworten auch bei einer etwaigen Überarbeitung der Lösungswege berücksichtigen).
Frage: Ich habe Normalformen durch reines Überlegen und Ausprobieren hergeleitet. Sie stimmen an sich, doch weiß ich nicht, ob sie in dieser Form in dieser Aufgabe formal richtig wären. Ich habe dazu auch nichts im Buch oder dem Lösungs-pdf aus dem Internet finden können. Meine Normalformen für H sind:
a) (A UND B UND C) ODER ((NICHT A) UND C)
b) ((NICHT A) ODER B) UND ((NICHT A) ODER C)
Antwort:
zu a) Hier scheint der Fall (f, f, f), der ja w liefern soll, nicht
ordnungsgemäß berücksichtigt worden zu sein -- es ist ja
(f UND f UND f) ODER (w UND f) = f ODER f = f.
zu b) Hier gibt es ein Problem bei (f, w, f), das
ja f liefern soll. Wegen NICHT A=w sind in diesem Fall beide Teilaussagen wahr, und damit auch die Gesamtaussage.
Allerdings haben die Normalformen, die in den Lösungen angegeben werden, tatsächlich nicht die einfachste mögliche Gestalt. Mittels Regeln wie
A ODER (NICHT A) = w und A UND (NICHT A) = f kann man jeweils noch eine etwas einfachere Form für die Ergebnisse finden.

zu Kap.3, Aufg. 3.19  

Frage: Ich kann nicht nachvollziehen, wie bei der Induktionsbehauptung aus der Lösung aus 12^2n-1, 12^2n+1 wird wenn ich n durch n+1 ersetze. Meiner Meinung nach steht doch da dann 12^2n+1-1 was doch eigentlich 12^2n geben sollte, oder??? Auch den nächsten Schritt (11^n+2 + 12^2n+1 = 11 • (11^n+1 + 12^2n−1) +133 • 12^2n−1) erreiche ich nicht, egal wie ich ausklammere oder ausmultipliziere.

Antwort: Nein, es steht hier 12^(2*(n+1)-1), also nach
Auflösen der Klammer tatsächlich 12^(2n+1).
Man benutzt hier 12^(2n+1) = 12^2 * 12^(2n-1)
= 144 * 12^(2n-1) = (11 + 133) * 12^(2n-1)
= 11 * 12^(2n-1) + 133 * 12^(2n-1).Die gemeinsame 11 kann man nun in 11^n+2 = 11 * 11^n+1 und 11 * 12^(2n-1) herausheben und erhält das angegebene Ergebnis.

zu Kap.3: Ungleichungen 

Frage: Warum kann ich aus: (x^3) ‹ 1 für x ‹ 0 die dritte wurzel ziehen obwohl (x^3) negativ sein muss?

Antwort: Im Gegensatz etwa zur Quadratwurzel kann man die dritte Wurzel (mit Einschränkungen) auch
für negative Zahlen definieren. Für a › 0 findet man ja (-a)^3 = -(a^3), d.h. man kann -a als dritte Wurzel von -(a^3) ansehen. Allerdings sind Wurzeln von negativen Zahlen generell etwas
problematisch, die Definition \sqrt[3]{x} = x^{1/3} = e^{1/3 * ln x} etwa klappt für negative x nicht mehr.
Im geschilderten Fall ist die Ungleichung allerdings simpel: Wenn x^3 negativ ist, dann ist es sicher auch kleiner als 1. (Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive; vgl. Ordnung auf der
Zahlengerade.) Ebenso ist dann x negativ und damit kleiner als jede positive Zahl, also auch kleiner als 1.

zu Kap.2 Logik/ Quantoren, 

Frage: (Da mir die Moeglichkeit fehlt die Quantoren zu schreiben soll # den Einheitsquantor und @ den Allquantor symbolisieren.) Auf S.22 steht bei dem Anwendungsbeispiel: #H | @M : H beissst M. Was genau bedeutet hier das "|" (da es ja wohl kaum "teilt"

Antwort: Der Strich (den man hier genausogut weglassen könnte und vielleicht der Verständlihkeit halber sogar sollte), bedeutet ähnlich wie der Doppelpunkt "so dass". Das "so dass" ist aber schon durch die Reihenfolge eingebaut; in Worten heißt der Ausdruck ja: Es gibt ein H, so dass für alle M gilt: H beisst M.
Frage: ...und sind die Schreibweisen
"#x : F(x)" mit "#xF(x)", "#x @y : F(x,y)" mit "#x@xF(x,y)" gleichbedeutend, da ich die verschiedensten von ihnen antreffe?
Antwort: Hier sollte man korrekterweise stets den Doppelpunkt schreiben.
Frage: ... und "#n Element Z ^ x Element R: F_n(x)"
mit "#(n Element Z ^ x Element R): F_n(x)", oder sollte es eher "#n Element Z #x Element R: F_n(x)" heißen?
Antwort: Die Bedeutung ist trotz formaler Unterschiede im Anschreiben stets die Gleiche: Es gibt ein n aus Z und ein x aus R, so dass F_n(x) gilt. Da die beiden Existenzaussagen voneinander unabhängig sind, ist die genaue formale Handhabung nicht wesentlich. Die beiden Aussagen
"Es gibt a und es gibt b so dass ..." und "Es gibt a so dass es b gibt so dass ..." sind ja gleichwertig, sofern b von a unabhängig ist.

zu Kap.2: Implikation != Subjunktion? 

Frage: Auch unterscheiden andere Quellen wohl zwischen Implikation und Subjunktion, fuer die Subjunktion benutzen sie nur einen normalen Pfeil und fuer die Implikation einen Doppelpfeil; wo genau liegt der unterschied?

Antwort: In der reinen Aussagenlogik werden Implikation und Subjunktion meist synomym verwendet; die Handhabung ist in unterschiedlichen Quellen allerdings in der Tat unterschiedlich. Geht man über die reine Aussagenlogik hinaus (was meist in der
Philosophie intensiver als in der Mathematik behandelt wird), werden die beiden Begriffe mit etwas unterschiedlicher Bedeutung belegt.
Frage: Zudem ist mir noch ein Raetsel, wie genau man ausdrueckt, dass etwas nur fuer genau ein x gilt, ist dies schriftlich hinzuzufuegen? (Also: "# genau ein x : F(x)").
Antwort: Man hat immer die Möglichkeit, derartige Ergänzungen schriftlich hinzuzufügen bzw. den ganzen Satz rein sprachlich zu formulieren. Für "es gibt genau ein" gibt es allerdings in der Tat ein eigenes Symbol, ein Existenzquantor mit einer darüber gesetzten Eins.

zu Kap.2, Aufgabe 2.6 b 

Frage: Bei der Lösung zum Fall (b), surjektiv aber nicht injektiv, steht:g(2k-1)=1/k, g(2k)=1/k, k € N. Wie ist das zu interpretieren ? Heißt das, dass die jeweilige Funktion für ungerade bzw. gerade k gilt, also g(k)=1/(2k-1) für ungerade k und g(k)=1/2k für gerade k?

Antwort: Man hat in der Tat eine Unterscheidung zwischen geraden und ungerade Zahlen. Man könnte das auch als g(n)=2/(n+1) für n ungerade; g(n)=2/n für n gerade anschreiben.
Frage: Denn dann wäre die "Gesamtfunktion" doch 1/k und damit injektiv und surjektiv, wie im letzten Fall (c) der Aufgabe.
Antwort: Nun, nicht ganz. Wir erhalten ja g(1)=1, g(2)=1, g(3)=1/2, g(4)=1/2, g(5)=1/3, g(6)=1/3 usw. Das heißt, auf jedes Element im Bildbereich wird zweimal abgebildet, das wird gerade durch die Unterscheidung in gerade/ungerade Elemente erreicht. Dadurch geht die Injektivität verloren, denn man weiß ja für m=g(n) z.B. nicht, ob m=1/2 nun von n=3 oder n=4 stammt.
Frage: Bei den Hinweisen steht: "Für eine surjektive, aber nicht injektive Abbildung muss man mehrere Elemente des Wertebereichs auf das gleiche Element des Bildbereichs abbilden, diesen aber insgesamt immer noch voll ausschöpfen." Müsste es statt Wertebereich nicht Definitionsbereich heißen ?
Antwort: Ja, müsste es. Vielen Dank für den Fehlerhinweis!
Frage: Bin noch blutiger Anfänger, entschuldigung für die Störung, falls das jetzt völliger Unsinn war, aber riesen Kompliment ans Buch, Danke.
Antwort: Kein Grund zur Entschuldigung - und vielen Dank für das Kompliment.

Buch zu Abbildungsgeometrie 

Frage: In der 10. Klasse der bayerischen Realschule technischer Zweig gibt es im Fach Mathematik das Thema Abbildungsgeometrie. Gibt es seitens Ihres Verlages ein Lehrbuch speziell zu diesem Thema (affine Abbildung, Abbildungsmatrix usw.). Bitte geben Sie mir Bescheid!

Antwort: In Scheid/Schwarz, Elemente der Geometrie, 4. Auflage, 978-3-8274-1697-1, finden Sie ein ausführliches Kapitel zur Abbildungsgeometrie.

zu Kap.3, vollständige Induktion 

Frage - Bei der bernoullischen Ungleichung z.B. -- die Vorgehensweise ist aber gängig und die Frage allgemein -- wird im Induktionsanfang mit n0 begonnen (S. 75). Die Richtigkeit für n0 ergibt sich aus der Definition. Die Frage lautet allgemein: Wenn der Induktionsanfang eine Defintion verwendet (z.B. 0! oder a hoch 0 =1 wie hier usw.), wodurch ist dann gesichert, dass der Induktionsschritt auch von n=0 auf n=1 gültig ist. Zwar sind die Definitionen immer so gewählt, dass es stimmt aber müsste dafür nicht die allgemeingültige, widerspruchsfreie Einbettung der jeweiligen Definition in das ganze System bewiesen sein? Ich empfinde in diesen Fällen immer eine Lücke, auch wenn es mir vielleicht nicht gelungen ist, sie ganz explizit zu machen.

Antwort: Wären die Festsetzungen 0!=1 und a^0=1 tatsächlich rein willkürlich, könnte man beim Induktionsanfang mit n=0 tatsächlich in Probleme laufen.
Beim Induktionsschritt wird allerdings jeweils die Rekursionsbeziehung (n+1)! = (n+1) · n! für die Fakultät bzw. a^{n+1} = a · a^n für die Potenz verwendet, und diese ist mit den Festlegungen 0!=1 und a^0=1 auch für n=0 noch gültig. Der Schritt von n=0 zu n=1 ist damit konsistent in das allgemeine Schema n - › (n+1) eingebettet, und entsprechend ist es zulässig, den Induktionsanfang bei n=0 zu setzen.
Mehr noch, man könnte Fakultät und Potenz überhaupt über die Anfangswerte 0!=1 und a^0=1 und obige Rekursionsbeziehungen definieren; damit würde sich die Frage nach Einbettung erübrigen.

zu Kap.6: Potenz und Fakultät  

Frage: Warum ist eine Fakultät n! immer stärker als eine Potenz x^n, dass also x^n dividiert durch n! gegen 0 geht?

Antwort: Sehen Sie bitte im Buch auf Seite 160 links oben. Dort steht der genaue Beweis. Anschaulich geht der Beweis wie folgt: Der Termn x^n/n! hat im Zähler und im Nenner n Faktoren: (x/1) · (x/2) · (x/3) · · · · (x/n). Entscheidend ist nun die Beobachtung, dass x konstant ist, aber n gegen unendlich geht. Für jedes x sind also ab einem gewissen Term alle Faktoren (x/i) kleiner als z.B. 1/2. Damit lässt sich das gesamte Produkt schreiben als Produkt aus dem ersten Teil (der für n gegen Unendlich konstant bleibt) und einem zweiten Teil, der für n gegen unendlich aus belieibig vielen Faktoren besteht, die alle kleiner als (1/2) sind, der insgesamt also für n gegen unendlich gegen Null geht. Diese anschauliche Idee ausformuliert führt zu dem Beweis im Buch, S.160.

zu Kap.1: Frage zu den Begriffen Stochastik und Statistik  

Frage: Sie schreiben auf Seite 7, dass Stochastik ein Oberbegriff für Statistik ist. Ist das nicht umgekehrt? Unter Stochastik versteht man meines Wissens "die Mathematik des Zufalls", also Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastische Prozesse, Stochastische Analysis und mathematische Statistik. Stochastik bildet somit die mathematisch-theoretische Grundlage der Statistik. Die Deskriptive Statistik, als Teilgebiet der Statistik, gehört jedoch nicht zur Stochastik, weil keine Zufallsphänomene behandelt werden => Stochastik ist eine Teilmenge der Statistik?

Antwort: Sie haben recht, der Absatz ist wirklich unglücklich geraten. Was gemeint ist, und was hier in diesem Buch auch behandelt wird, ist „Statistik“.
Lassen Sie mich dazu etwas weiter ausholen, als es in einem kurzen Einleitungssatz möglich ist:
Worum geht es in der Statistik
Die Grundfragen sind:
  • Was wissen wir?
  • Was vermuten wir?
  • Was taugen die Daten?
  • Wie entscheiden wir?
  • Was sind die Risiken?
Ziel der Statistik ist die
Entwicklung vernünftiger Regeln
zum sinnvollen Verhalten
in unsicheren Situationen
auf der Grundlage von Daten und Informationen.
Die Früchte sind
Universelle Methoden,
in wahrscheinlichstheoretischen Modellen der Realität entwickelt und in der Praxis bewährt.
Kein Ingenieur kommt ohne Statistik, kein Statistiker ohne Mathematik aus. Die Spannweite geht von der linearen Algebra bis zu Galoisgruppen, von der Differential- und Integralrechnung zur Maßtheorie, die schließlich eine der Grundlagen der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist.
Und wo steht die Stochastik?
Oft wird Stochastik als Oberbegriff von mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischer Statistik und damit als Zweig der Mathematik gesehen. Aber über den Begriff und seine Bedeutung gehen die Meinungen von Mathematiker, Statistikern und „Stochastikern“ weit auseinander.
Verzichten wir hier auf eine präzisere Fassung, vermeiden vielleicht auf das Wort überhaupt und bleiben bei dem schlichten, aber geräumigen Wort „ Statistik“.

zu Kap.4: Umkehrfunktion 

Frage: Wiederholt wird im Text darauf hingewiesen, dass man beim Bestimmen einer Umkehrfunktion in beide Richtungen prüfen muss, weil die Verkettung von Funktionen nicht kommutativ ist. Wenn eine injektive Funktion y = f(x) durch Äquivalenzumformung auf g(y)=x gebracht wird, dann ist doch unter der Voraussetzung y=f(x) ein g gefunden, so dass f(g(y))=y, und dann g=f-1 , also f(f-1(y))=y und f-1(f(x))=x . Anders ausgedrückt: folgt die Kommutativität der Verkettung hier nicht aus der Umkehrfunktionsfindung schon implizit? Ein Gegenbeispiel würde helfen.

Antwort: Diese Aussage ist richtig, der entscheidende Punkt ist aber das Wörtchen "Äquivalenzumformung". Eine streng mathematische Formulierung dieser Aussage lautet wie folgt:
Gegeben ist eine Funktion f: D -> W und eine Funktion g: W -> D. Gilt für alle x \in D und alle Y \in W, dass y = f(x) genau dann wenn x = g(y), so ist g die Umkehrfunktion von f. Man kann unter dieser Voraussetzung auch sofort die Gleichungen x = g(f(x) für alle x \in D und y = f(g(y)) für alle y \in W nachprüfen.
Häufig hat man aber nicht die komfortable Situation, dass man die Formel für die Umkehrfunktion durch Äquivalenzumformungen gefunden hat, beispielsweise stößt man bei den Umformungen auf eine Stelle, an der zwei Vorzeichen möglich sind, und man ist sich nicht sicher, welches das richtige ist. Dann kann man durch die beiden Gleichungen aus dem Buch entscheiden, welches Vorzeichen für die Umkehrfunktion zu wählen ist.
Beispiel: f(x) = x^2 + 4x + 5 soll auf dem Intervall [-2,1] umgekehrt werden.
Man versucht die Gleichung y = x^2 + 4x + 5 nach x aufzulösen und erhält durch quadratisches Ergänzen y = (x+2)^2 + 1 , und daher x = -2 \pm \sqrt {y - 1} .
Welches Vorzeichen vor der Wurzel ist jetzt das richtige? In beiden Fällen gilt f( -2 \pm \sqrt{y-1} ) = y Andererseits ist aber
-2 \pm sqrt{ f(x) - 1} = -2 \pm | x + 2 | Für x \geq -2 ist | x + 2 | = x + 2 und es ist das "+"-Vorzeichen zu wählen, um die Umkehrfunktion zu erhalten. Wäre x \leq -2 so muss man das "-"-Vorzeichen wählen.

zu Kap.2 Schreibweise Aufgabe 2.6b 

Frage: Mathematik ist für mich in der Hinsicht interessant, da sie wie auch in der Einleitung beschrieben eindeutig und größtenteils interpretationsfrei ist. Aus diesem Grund versuche ich auch die Lösungen in der korrekten Schreibweise darzustellen. Meine Frage wäre dann, wie man diese Lösung darstellt.

Antwort: Eine einfache, formal korrekte Darstellung ist z.B. (in LaTeX-Notation):
\begin{array}{rcl}
M & \ to & N \\
n & \mapsto & \begin{cases}
\frac{2}{n} & \text{wenn}\;n=2k,\;k\in\NN \\
\frac{2}{n+1} & \text{wenn}\;n=2k-1,\;k\in\NN
\end{cases}
\end{array}

zu Kap.3; Lösung 3.20  

Frage - In Ihrem Lösungsweg wird die Summenformel angewendet, aber da p2(x) = p(1+n)(x) mit n=1 ist, stimmt diese Summenformel nicht. Es müsste die Summe über x^k von 0 bis 2^(n+1) -1 sein. Richtig?

Antwort: Hier bin ich der Meinung, dass unsere Lösung korrekt ist.
Wir haben einerseits (nach Rekursionsformel)
p_2(x) = p_{1+1}(x) = ( 1+x^{(2^1)}) p_1(x)
= (1+x^2) (1+x) = 1 + x + x^2 + x^3,
andererseits gemäß Summenformel
p_2(x) = \sum_{k=0}^{2^2-1} x^k = \sum_{k=0}^3 x^k
= 1 + x + x^2 + x^3.
und die beiden Ausdrücke stimmen überein. Eine Ursache
für Missverständnisse könnte sein, dass die Rekursion für
p_{n+1} angegeben ist, die Summenformel aber für p_n.

zu Kap.2. Darstellung in Normalformen 

Frage zu Aufg. 2.26: Warum kann man für die Darstellung der Normalform nicht auch Implikationen benutzen bzw warum sind Normalformen so definiert, wie sie es sind? Beim ersten Anlauf kam ich auf ( nicht A und B=>C) oder ( A und B und C), war nach einem Blick in die lösungen aber stutzig, ob das formell richtig ist und nach einem erneuten Durchlesen der Aufgabe sicher, das es das nicht ist, deshalb meine Frage.

Antwort: Wahrscheinlich lassen sich auch standardisierte Darstellungen mit Hilfe von Implikationen finden. (Dabei würde man sich vermutlich an den Falsch-Einträgen
in der Wahrheitstafel orientieren.) Für die konjunktive und disjunktive Normalform ist aber das Vorgehen relativ direkt; zudem lassen sich mit UND bzw. ODER beliebig viele Aussagen auf gleichberechtigte Art und Weise verknüpfen, während die Implikation eine eingebaute Asymmetrie besitzt.
Auf jeden Fall lassen sich die Ausdrücke, die man per Normalform erhält, oft noch vereinfachen, indem man die logischen Distributivgesetze und die für beliebige
Aussagen A gültigen Beziehungen
A\wedge(\neg A)=f und A \vee (\neg A)=w sowie
f \vee A \Leftrightarrow A und w \wedge A \Leftrightarrow A benutzt.

zu Kap.3: Aufgabe 3.8  

Frage - Mir ist nicht ganz klar, warum 412 keine Primzahl sein soll? In der Lösung der Aufgabe wird aufgefordert, dass man n=41 in die Gleichung p=n2 -n+41 einsetzt und sehe da es kommt p=412. Anderseits frage ich mich, wie ich einen Beweis, der im Widerspruch endet (Vorausgesetzt die Gleichung ergibt nicht für alle n eine Primzahl), darstellen soll, wenn es keine Formel für Primzahlen im Buch gibt... Ich konnte mir leider bis jetzt auch keine denken...

Antwort: Die definierende Eigenschaft der Primzahlen ist ja gerade, dass sie keine nichttrivialen Teiler haben. Die Zahl 1681 = 412 hat aber den zweifachen
Teiler 41 und kann damit keine Primzahl sein, genausowenig wie z.B. 9 = 3 2 eine Primzahl sein kann.

zu Kap.2-4: Operator und Funktion 

Frage: Wie kann man mit einfachen Worten den Unterschied zwischen den Operatoren (plus, minus, mal und geteilt) und Funktionen, die man ja auch als Operatoren bezeichnet, erklären?

Antwort: Es ist eigentlich nicht üblich, Funktionen als Operatoren zu bezeichnen. Die arithmetischen Operatoren wie plus und minus werden im Allgemeinen als Abbildungen definiert, die ein PAAR von Zahlen auf das Ergebnis der entsprechenden Operation abbilden. Im Sinne der eindimensionalen Analysis bildet eine Funktion dagegen immer EINE Zahl auf eine Zahl ab.
Betrachtet man die Sache aus der Sicht der mehrdimensionalen Analysis, so kann man die Operatoren als Funktionen bezeichnen, denn hier werden z.B.
Abbildungen betrachtet (und Funktionen genannt), die Vektoren auf Skalare abbilden.
In der höheren Analysis gibt es auch noch den Begriff eines Operators, der aber mit den arithmetischen Operatoren nichts zu tun hat. Hier meint der Begriff eine Abbildung, die eine Funktion auf eine andere Funktion abbildet.
Beispiele sind die Differentiation (Funktion auf ihre Ableitung abbilden) oder Integraltransformationen wie die Laplacetransformation oder die Fouriertransformation.

zu Kap.4.2 Linearfaktoren Seite 97 unten rechts  

Frage: Guten Tag, mir ist nicht ganz klar, wieso man die Aussage treffen kann, dass der erste Summand in der Darstellung verschwände, da a0*(x-x)^(0) = a0 * 0^(0) eigentlich undefiniert sein müsste, so wie der erste Summand jedoch von der Summenformel lösgelöst ist, unterstellt sein müsste, dass (x-x)^(0) = 1 ist? Vielleicht auch wären einige generelle Erläuterungen zu dem betreffenden Sachverhalt hilfreich.

Antwort: Sie haben natürlich recht: Ein Ausdruck der Form 0^0 ist nicht definiert. Aber es wird in dem Abschnitt das Summenzeichen (wie üblich) zur Abkürzung der Darstellung einer Polynomfunktion verwendet. Dies wird im Text erwähnt.
Implizit wird dadurch die allgemeine Konvention verankert, dass bei Auswertung des Ausdrucks an der kritischen Stelle (hier $\hat{x}$) die urspruengliche Darstellung
p(x) = a_0 + a_1 (x-\hat{x}) + ...
stets gelten muss und nur so auch die Auswertung an der kritischen Stelle (hier $\hat{x}$) Sinn macht.
Formal korrekt wäre es, stets
"p:\RR \to \RR mit p(x) = a_0 + \sum_{j=1}^n a_j (x-\hat{x})^j"
zu schreiben oder die Polynomfunktion mit dem Summenzeichen nur ausserhalb der kritischen Stelle zu definieren und dann von der "stetigen Fortsetzung"
dieser Funktion auf den ganzen reellen Zahlen zu sprechen. Beides erscheint uns umständlich und für ein einführendes Kapitel eher verwirrend.
Auch später bei den Potenzreihen gilt übrigens dieselbe Konvention. Der Aspekt kommt vorallem beim Differenzieren deutlich zum Tragen (siehe "Achtung" auf Seite 298/299).

zu Kap. 2, Zusammenstellung mathematischer Symbole und Schreibweisen  

Frage: Ich vermisse schmerzlich eine Zusammenstellung von Symbolen und Schreibweisen, z.B. hänge ich gerade in Kapitel 2 und weiß nicht, wann bei Mengendefinitionen nun einfach = und wann := gesetzt wird, und wie sich das letztere ausspricht. Habe ich das nur übersehen? Ist es nicht eingeführt? Gibt es die Übersicht doch irgendwo?

Antwort: Es befindet sich in der Tat keine Symbolverzeichnis im Buch. Für ein Symbolverzeichnis gibt es Vor- und Nachteile; Konzeption des Buches ist, die Symbole im Kontext zu erklären und so zu verwenden, dass an der jeweiligen Stelle die Bedeutung klar wird. Wir bedauern, dass in Kap.2 für eine definierende Gleichung teilweise ":=" und teilweise "=" verwendet wird. Wir werden dies für eine eventuelle Neuauflage zu gegebener Zeit überdenken. Das Symbol ":=" wird gelesen als "ist definiert als" oder "ist per definitionem gleich".
Nachtrag: Wir haben uns entschlossen, für die im November 2011 erscheinende 2. Auflage ein Symbolverzeichnis zu ergänzen.

zu Kap.4.2: Lagrange-Polynome 

Frage: Wie wurde der Term für L_j (x) hergeleitet? L_j kann ja wegen den Nullstellen in Linearfaktoren zerlegt werden, aber dann müsste es die Form L_j (x) = (x-x_1) * ... * (x-x_j) * (x-x_j+1) * ... * (x-x_n) * q(x) haben. Anders gefragt, wo kommt der Nennerausdruck her? Es ist klar, dass der Ausdruck im Buch die vorher im Text genannten Eigenschaften erfüllt, aber wie ist der Nennerausdruck von L_j motiviert?

Antwort: Ihr Ansatz ist im Wesentlichen korrekt. Es muss nur der Faktor (x-x_j) ausgenommen werden, d.h. fuer L_j gilt L_j (x) = (x-x_1) * ... * (x-x_{j-1}) * (x-x_{j+1}) * ... * (x-x_n) * q(x) .
Somit haben wir n-1 Nullstellen. Weiter folgt aus der Forderung, L_j ist vom Grad n-1, dass der Faktor q den Grad 0 hat, also konstant ist. Diese Konstante muss noch gewählt werden, um die letzte Bedingung nämlich
L_j(x_j)=1 zu erfuellen. Setzen Sie in den Ansatz x_j ein, so folgt der Wert für q aus der Bedingung 1=(x_j-x_1) * ... * (x_j-x_{j-1}) * (x_j-x_{j+1}) * ... * (x_j-x_n) * q. Damit ergibt sich der angegebene Nenner.

Zu Kap.2: geordnete Menge 

Frage: Was versteht man unter einer geordneten Menge (M, ‹ )?

Antwort: Unter einer geordneten Menge versteht man eine Menge M zusammen mit einer Ordnungsrelation auf M. Zum Begriff einer (Ordnungs-)Relation, sehen Sie bitte das Bonusmaterial zu Kap.2, s.5 (bzw. Ergänzungsbuch S.5). Kurz gesagt: Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge von M x M; eine Ordnungsrelation ist transitiv und antisymmetrisch.
Beispielsweise sind die reellen Zahlen mit der üblichen kleiner-Relation eine geordnete Menge.

zu Kap.3: Aufgabe 3.10 

Frage: Im Lösungsweg zu dieser Aufgabe ist in der 5. Umformung von 2.c (Beweis der Behauptung) der erste Summand in der ersten Summe der Ausdruck "n über -1", welcher meines Wissens nicht definiert ist. Oder irre ich mich?

Antwort:
Konventionellerweise setzt man (n über -1) = (n über n+1) = 0. Das kann anschaulich begründet werden, da es keine Möglichkeit (also null Möglichkeiten) gibt, aus n Elementen (-1) oder (n+1) auszuwählen. [Setzt man die Fakultät mit Hilfe der Gammafunktion aus Kap. 34 fort, so kann man mit einem gewissen Recht (-1)! = Gamma(0) = "Unendlich" setzen; damit ist "1/((-1)!) = 0", was korrekt durch einen Grenzüberganz zu formulieren ist.]

zu Kap. 3.4, S. 65, Geometrische Summenformel; wenn Summation nicht bei null beginnt 

Frage: Hallo! Erstmal großes Lob ans Buch! Ich habe ein Verständnisproblem: warum folgt aus (1-q^(n+1)/(1-q)-1 dann schließlich (q-q^(n+1))/(1-q)?

Antwort:
Vielen Dank für das Lob!
Hier wären wohl einige Zwischenschritte hilfreich. Insbesondere werden die beiden Terme auf gemeinsamen Nenner gebracht und dann zu einem Bruch zusammengefasst:
(1-q^{n+1})/(1-q) - 1
= (1-q^{n+1})/(1-q) - (1-q)/(1-q)
= (1-q^{n+1}-(1-q))/(1-q)
= (1-q^{n+1}-1+q)/(1-q)
= (q-q^{n+1})/(1-q)

zu Lösungsweg Aufg. 3.24 

Frage: Im Lösungsweg bei der Aufgabe steht in der zweitletzen Zeile: n^2 + \sum_{k=1}^{n} 2 + 1. Daraus resultiert dann n^2 + 2n + 1. Handelt es sich bei diesem Schritt um eine Abschätzung? Oder ergibt der Ausdruck " \sum_{k=1}^{n} 2 " immer 2n?

Antwort: Ja, Sie haben es richtig verstanden. " Die Summe sum_{k=1}^{n} 7 lautet ausgeschrieben "7+7+7+...+7" (insgesamt n Summanden), das ergibt 7n. Die allgemeine Regel für das Ausschreiben der Summe ist, dass man den Term, über den summiert wird, für jeden Wert des Laufindex addiert. Normalerweise hängt der Term von dem Laufindex ab; aber wenn er nicht davon abhängt, dann addiert man ihn einfach unverändert.

zu Lösungsweg Aufg. 3.34g Reflexionsvermögen 

Frage: Hallo, können Sie bitte eine ausgiebige Umformung der Gleichung nach n1 oder n2 darstellen.

Antwort: Ausgehend von
R = ((n1-n2)/(n1+n2))^2
zieht man die Wurzel und erhält
+/- sqrt{R} = (n1-n2)/(n1+n2).
Hier gibt es also zwei Lösungen, eine mit positiven und eine mit negativen Vorzeichen. Am sichersten und einfachsten ist, Sie betrachten beide Vorzeichen getrennt. Für das positive Vorzeichen liefert Multiplizieren mit dem Nenner (n1+n2) die Gleichung
(n1+n2)sqrt{R} = n1-n2.
Man bringt nun alle Terme mit n1 auf eine Seite und alle mit n2 auf die andere. Dies gibt
n2(1+ sqrt{R}) = n1(1-sqrt{R}).
Division durch (1+sqrt{R}) ergibt die Gleichung aufgelöst nach n2. Analog geht es auch für n1, bzw. auch für das andere Vorzeichen. Mit etwas Übung kann man parallel mit beiden Vorzeichen rechnen, man muss dann eben beachten, man schreibt gewissermaßen immer beide Umformungen in eine Zeile und muss beachten, dass -(+/-) = (-/+) und muss dann daruf achten, dass immer die oberen bzw. unteren Vorzeichen zusammengehören. (Falls an verschiedenen Stellen Wurzeln auftreten und zwei- oder mehrfach +/- entsteht, wird man es nicht mehr in einer Rechnung unterbringen, sondern muss getrennte Rechnungen für die verschiedenen Fälle vornehmen.)

zu Kap.4.3 Logarithmus 

Was versteht man unter Halblogarithmieren?

Antwort: Der Begriff ist so wenig gebräuchlich. Man spricht eher von "halblogarithmischer Darstellung" und meint damit einfachlogarithmische Darstellung (in Abgrenzung zur doppeltlogarithmischen Darstellung).
Bei der doppellogarithmischen Darstellung werden x- und y-Achse logarithmisch darsgestellt, dabei wird dann eine Potenz-Funktion (z.B. x^3) zu einer Geraden. Bei der halblogarithmischen Darstellung wird nur die y-Achse logarithmisch darsgestellt, dabei wird eine Exponentialfunktion (z.B. 2^x) zu einer Geraden.
Teilweise bezeichnet "halblogarithmische Darstellung" die Darstellung einer Zahl in der Form Mantisse * Basis ^ Exponent, z.B. auch in der technischen Informatik.

zu Kap.2 Wohlordnungsprinzip und vollständige Induktion 

Frage: Wie beweist man die Äquivalenz des Wohlordnungsprinzips mit der vollständigen Induktion?

Antwort: Einen ausführlichen Beweis finden Sie in Kapitel 1 von R. Remmert, P. Ullrich, Birkhäuser, Elementare Zahlentheorie.

Bonusmaterial: Teiler der Zahl 736273893493625252 

Frage: im Buch "Ergänzungen und Vertiefungen..." fragen Sie auf Seite 226: wieviele Teiler hat die Zahl 736273893493625252? Die Antwort darauf bleiben Sie leider schuldig.

Antwort: Wie man mit einem Computeralgebraprogramm (z.B. unter www.wolframalpha.com) herausfindet, hat die Zahl 736273893493625252 die Teiler 2^2, 89, 173, 239 und 50020197211, also 6 Primfaktoren, davon 5 verschiedene.
Damit ergeben sich die folgenden 48 Teiler:
1 , 2 , 4 , 89 , 173 , 178 , 239 , 346 , 356 , 478 , 692 ,
956 , 15 397 , 21 271 , 30 794 , 41 347 , 42 542 , 61 588 , 82 694 ,
85 084 , 165 388 , 3 679 883 , 7 359 766 , 14 719 532 , 50 020 197 211 , 100 040 394 422 , 200 080 788 844 , 4 451 797 551 779 , 8 653 494 117 503 ,
8 903 595 103 558 , 11 954 827 133 429 , 17 306 988 235 006 , 17 807 190 207 116 ,
23 909 654 266 858 , 34 613 976 470 012 , 47 819 308 533 716 , 770 160 976 457 767 ,
1 063 979 614 875 181 , 1 540 321 952 915 534 , 2 068 185 094 083 217 ,
2 127 959 229 750 362 , 3 080 643 905 831 068 , 4 136 370 188 166 434 ,
4 255 918 459 500 724 , 8 272 740 376 332 868 , 184 068 473 373 406 313 ,
368 136 946 746 812 626 , 736 273 893 493 625 252.

Fehler in Abbildung 5.5? 

Frage: Sind in Abbiildung 5.5 (Polarkoordinatendarstellung von z=a+ib) die Bezeichungen von Real- und Imaginärteil von z falsch? Müsste es nicht an der "Re"-Achse r*cos(phi) und auf der "Im"-Achse r*sin(phi) heißen? Laut gelber Box auf S.130 links oben soll ja auch gelten: z=r*cos(phi)+i*r*sin(phi) und somit der Re(z)=r*cos(phi) und Im(z)=r*sin(phi).

Antwort: Sie haben recht. Hier liegt ein Druckfehler vor, der im Nachdruck korrigiert ist. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

Rechenfehler auf S. 125 (Beispiel)? 

Frage: Kann es sein, dass auf S. 125 im Beispiel links oben ein kleiner Fehler ist? So soll der Zähler (2+i)(1+i)=2+3i ergeben. Nach meiner Rechnung ergibt sich allerdings 1+3i.

Antwort: Sie haben recht. Hier liegt ein Fehler vor. Die Korrektur ist auf der Errata-Liste enthalten und beim Nachdruck berücksichtigt.

Kap.3, Aufg. 3.20 

Frage: Kann es sein dass sich in dem Lösungsweg zu Aufgabe 3.20 in der PDF "Lösungswege zu Kapitel 3" auf Seite 15 Schluss von n auf n+1 in Zeile 2 ein Fehler eingeschlichen hat? Es müsste heißen: x^((2^n)+k) und nicht x^((2n)+k)

Antwort: Sie haben Recht, hier liegt ein Fehler vor, den wir in die aktuelle Errata-Liste aufgenommen haben. Wir danken Ihnen für Ihren Hinweis und bitten den Fehler zu entschuldigen.

Kap.4 Aufgabe 4.4 

Frage: Es steht in der Lösung die Ungleichung: [(x/y)-1] › =ln(x/y)=(ln(x)-ln(y)).

Antwort: Es wird auf die charakterisierenden Eigenschaften des Logarithmus, insb. auf die Ungleichung S.105 unten (ln x ‹ = x-1) Bezug genommen. Diese Ungleichung wird angewandt auf x/y.

Zusatzmaterial: Elementare Zahlentheorie / Beweis: Division mit Rest  

Frage - In dem Beweis schreiben Sie: "Da b Element von N gilt, [...] ". Leider ist es für mich nicht ersichtlich, wie dies aus der vorhergehenden Mengenbeschreibung hervorgeht. Meiner Auffassung zufolge müsste "b Element von Z gelten.

Antwort: Dass b Element von N ist, ist in der Voraussetzung des Satzes enthalten. Daher bedarf es hierfür keine weitere Begründung.

2.4 Elementare Mengenlehre 

Frage: Es spielt keine Rolle, ob einige Elemente in einer Menge evtl. doppelt vorkommen. Ist dies richtig? Nach Def. Cantor ist z.B. M={1, 2, 1} keine Menge, da 1 nicht unterscheidbar ist.

Antwort: Nach dem Extensionalitätsprinzip sind zwei Mengen Aund B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen.Auf Reihenfolge und Wiederholungen kommt es nach
dem Extensionalitätsprinzip nicht an, es gilt z.B. {0,1} = {1,0} = {1,0,1} = {0,0,1,1}.
Für weiteres möchte ich Sie auf Deiser, Lasser, Vogt, Werner, 12 x 12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik verweisen (erscheint Herbst 2010), bzw. auf Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 3. Auflage, 2009.

Zum Lösungsweg in Aufgabe 4.3 

Frage: Aus welchem Grund verschwindet im kleiner-gleich bzw. größer-gleich Zeichen der Ungleichung 4.4 das gleich- Zeichen?

Antwort: Es gilt exp(x) größergleich 1 +x für alle x reell. Für x = 0 gilt das Gleichheitszeichen, und dies ist der einzige Fall, für den das Gleichheitszeichen gilt (da die exp-Funktion konvex ist). Somit ist für x ungleich 0 stets exp(x) › 1 + x.

Zu Kap.4, S.98 - Ausklammern von mehreren Faktoren 

Frage: Hallo, leider kann ich nicht nachvollziehen wie sie diesen Term x3 - x 2 - x - 2 umstellen zu (x-2) (x2 + x + 1). Es ist muss vollkommen trivial sein, aber ich kann mich nicht mehr daran erinnern jemals in meiner Schullaufbahn mehr als eine Zahl/Variable auszuklammern. Auch in einem anderen Mathebuch finde ich keine Beispiele dazu. So wie ich das umstelle erhalte ich immer Brüche... bitte erklären Sie Schritt für Schritt wie Sie das herleiten. Danke!

Antwort: Die Umformung ist durchaus nicht trivial, es handelt sich um das Verfahren der Polynomdivision, das auf S.99 erklärt wird.
Analog zum schriftlichen Dividieren prüfen Sie im ersten Schritt, wie oft (x-2) in (x3 - x 2 - x - 2) passt und berücksichtigen dabei nur die höchste Potenz. Also: Wie oft geht x in x3? Antwort: x 2-mal. Daher schreiben Sie x 2- nach rechts oben, das ist der erste Term. Sie multiplizieren dann x2 mit (x-2) und schreiben dies unter x3 - x 2 - x - 2 und bestimmen die Differenz. Mit dieser Differenz verfahren Sie wieder analog (Wie oft geht (x-2) hinein?).
Es kann durchaus sein (in dem Bseispiel S.98 nicht, aber z.B. im zweiten Beispiel S.99), dass ein Rest übrig bleibt, den Sie dann einfach als Bruch hinschreiben.

zu Kap. 5, S.122, Umformung  

Frage: Im 2. korrigierten Nachdruck 2010 schreiben Sie auf Seite 122, rechte Spalte, im vorletzten Textabsatz über der Verständnisfrage: »Es ergibt sich mit unserer Definition für eine Lösung der Wert x-1= i sqrt(2) bzw. x = 1 - i sqrt(2)«

Antwort: Es gibt auch bei negativen Zahlen (und auch im Komplexen) stets zwei Quadratwurzeln einer Zahl ungleich 0. Bei der Selbstfrage ist neben 2i auch -2i eine Quadratwurzel von -4, es gilt nämlich (-2i)(-2i) = (-2)(-2)i ·i = (+4) · (-1) = -4, ebenso wie (2i)(2i) = 2 ·2· i ·i = (+4) · (-1) = -4. Dies ist in der Tat hier (noch) nicht erklärt.

Zu Kap. 5 Komplexe Zahlen Abbildung 5.6  

Frage - Die Zeiger weisen eine Phasenverschiebung auf, doch im Diagramm scheinen die zwei Schwingungen in Phase zu sein?

Antwort: Sie haben recht, die Abbildung ist nicht ganz optimal. Die beiden Schwingungen sind als Funktionen in Phase dargestellt, aber es werden unterschiedliche Punkte betrachtet (auch in der Grafik recht rot und blau markiert), die auf der Abszisse die entsprechende Phasendifferenz aufweisen. Es wäre vermutlich verständlicher und üblicher, die beiden Graphen zum selben Wert einzuzeichnen.
Zu Ihrer zweiten Frage: Man kann in gleichberechtigter Weise den Imaginärteil oder den Realteil betrachten, muss dies dann aber auch konsequent durchhalten. Der Imaginärteil ist ebenso wie der Realteil eine reelle Zahl, da z = Re(z) + i Im(z), mi Re(z) und Im(z) reelll.

Zu 3.4 Summen und Produkte, Binomialkoeffizienten (S. 67) 

Frage - Auf Seite 67, rechte Spalte, Zeile 16, wo Sie den Binomialkoeffizienten herleiten, schreiben Sie, dass beim Allgemeinen Fall k ‹ n sein soll. Sollte es hier nicht k ‹ = n heißen? Für k = n lautet der Ausdruck a^0 × b^n und ist somit ebenso ein Fall wie a^n × b^0 (für k = 0).

Antwort: Bei der Argumentation ist zunächst bewusst k=0 und k=n ausgeschlossen (k=0 auch ausgeschlossen, da die Menge N ohne 0 definiert ist, s.S.29). Zum Beispiel wäre nicht klar, was "0 Binome" auswählen genau bedeutet und wieviele Möglichkeiten es dafür gibt. Daher liegt zunächst k zwischen 1 und n-1, und erst am Schluss wird gesagt, dass die Gleichung auch für die beiden Fälle k=0 und k=n gültig ist.
Sie haben aber recht, man könnte diese Fälle auch mit in die Argumentation aufnehmen.

zu 1.1, Kap.2, logistische Gleichung  

Frage - Auf der zweiten Seite führen Sie als Beispiel zu Modellierungen die Logistische Gleichung bzgl. Wissenszuwachs an. Division durch M führt schließlich zur normierten Form. Die Herleitung geht sehr einleuchtend auf für die klassische Ausgangsgleichung (Variabeln angegeben nach demographischem Modell-Beispiel auf Wikipedia:) X(n+1) = qf*qv*Xn*(G-Xn), welche nach Division durch G einleuchtenderweise in xn+1=r*xn*(1-xn) mündet wenn r=qv*qf und x=X/G. Im Buch aber scheint die Herleitung im Normierungsschritt (für die Substitution r=pv*M) irgendwie nicht nachvollziehbar aus dort angegebener Ausgangsgleichung. Wurden Schritte übersprungen oder der Übersichtlichkeit halber (noch)verschwiegen, dass sich die Schlussgleichung nicht genau aus der angegebenen Ausgangsgleichung, sondern noch über weitere Umwege erschließt? Ich erhalte einfach nicht die normierte Gleichung aus angegebener Ausgangsgleichung bei Division durch M bzw. nur xn=(r^-1)*xn-1*(1-xn-1). Wo liegt mein Denkfehler oder gegebenenfalls die Lücke im Buch (welche jedoch unwahrscheinlicher sein dürfte...) Ich hoffe, meine Frage ist nicht zu trivial und bedanke mich herzlich für die Fragemöglichkeit!

Antwort: Wenn man die Gleichung
W_n = p_V W_{n-1} (M-W_{n-1}) durch M dividiert, erhält man:
W_n/M = p_V W_{n-1} (1-W_{n-1}/M). Setzt man nun W_n/M = x_n und analog W_{n-1}/M = x_{n-1}, so ergibt sich
x_n = p_V M x_{n-1} (1- x_{n-1}) und damit nach der Substitution r = p_V M die im Buch angegebene normierte Gleichung:
x_n = r x_{n-1} (1- x_{n-1}).

zu Kap.5 komplexe Zahlen (auch Kap.6 Folgen, auch Kap.33 Integraltrafos)  

Frage: Wie sieht das in der komplexen Ebene aus (wie stellt man das dar), wenn eine komplexe Zahl gegen unendlich geht? Im- und Re-Teil gegen unendlich?

Antwort:
Mit der Formulierung "geht gegen unendlich" wird nicht klar deutlich, was gemeint ist. Es kann bedeuten, dass die Zahlenfolge einfach nur unbeschränkt ist (s. Definition Kapitel 6). In der Frage ist aber vermutlich gemeint, dass es zu jeder Konstante R aus den reellen Zahlen ein N aus den natürlichen Zahlen gibt, gibt mit |z_n| › R für alle n › N. In diesem Sinne geht etwa die Folge z_n=i n "gegen unendlich", obwohl der Realteil konstant null ist.
Analog zu einer Folge, die gegen einen endlichen Wert in der komplexen Zahlenebene konvergiert, kann auch ein Streben "gegen unendlich" in diesem Sinne auf verschiedene Weisen erfolgen.
Um diese "Konvergenz gegen unendlich" zu veranschaulichen, kann man sich der Riemann'schen Zahlenkugel (s. S.131 in dem Buch) bedienen. Alle komplexen Folgen, die "gegen unendlich" streben, streben auf der Zahlenkugel gegen den "Nordpol". Die Riemannsche Zahlenkugel ist als topologischer Raum die Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene. Dies wird in dem Buch, das sich vorrangig an die Anwender der Mathematik richtet, bewusst nicht erklärt.
Zusatzfrage:
Vielen Dank für Ihre Antwort. Entschuldigen Sie bitte die ungenaue Ausdrucksweise, meine Frage war so gemeint: Wie kann man sich das vorstellen, wenn s im folgenden Fall gegen unendlich geht? lim (s gegen unendlich) von Integral (von 0 bis unendlich) über exp(–st) f(t) dt. Welche Rolle spielt dabei der Winkel ‹ pi/2?
Antwort:
Allgemein meint man mit einer Folge (z_n) in der komplexen Ebene, die gegen unendlich strebt, dass |z_n| gegen unendlich geht für n gegen unendlich. Die Betrachtung von Folgen längs eines Strahls in der komplexen Ebene ist in der zitierten Aussage so zu verstehen: z_t = t w für t gegen unendlich, wobei w eine feste komplexe Zahl ist mit |arg(w)| ‹ pi/2.
Warum der Winkel pi/2 eine Rolle spielt, kann man vielleicht erahnen, wenn man sich die Box zur Injektivitaet der Laplacetransformation auf Seite 1139 ansieht.

zu Kapitel 2: Indirekter Beweis 

Frage. Ich habe eine Frage/Hinweis zu Seite 23 oben rechts. Zitat: "...nimmt also an, (nicht B) sei wahr....". Müsste man nicht schreiben "...(nicht B) sei falsch..." ?

Antwort: Die gedruckte Version ist korrekt. Man nimmt (nicht B) an und folgert daraus (nicht A). Sehen Sie auch die Selbstfrage darüber.

Zu Kapitel 2, Aufg. 2.7 

Frage: Für diese Aufgabe wird als Lösung angegeben:"Bei zwei Aussagen gibt es vier mögliche Kombinationen von Wahrheitswerten, jeder davon kann entweder w oder f zugewiesen werden. Ingesamt gibt es also N = 2^4 = 16 verschiedene Junktoren, zu denen eben auch die vorgestellen ∧, ∨,⇒ und ⇔ gehören." Danach ist in der Fragestellung nicht gefragt. Wie viele unterschiedliche Binäre Junktoren gibt es? Antwort 4, da nur nach den Junktoren selbst gefragt wird, nicht aber nach den möglichen Kombinationen. Liege ich falsch?

Antwort: Was einen binären Junktor ausmacht, ist, dass er jeder Kombination der beiden Eingangsvariablen einen neuen Wahrheitswert zuweist. Das wird eben in der entsprechenden Wahrheitstafel ausgedrückt. Statt zu fragen, wie viele binäre Junktoren es gibt, könnte man also auch fragen, wie viele unterschiedliche Wahrheitstafeln mit zwei Eingangsvariablen es gibt.
Bei zwei Eingangsvariablen gibt es vier Kombinationen (ww, wf, fw, ff), denen wir einen Wert zuweisen müssen, d.h. die Wahrheitstafel hat vier Zeilen. In der Ergebnisspalte können wir können jeden Eintrag frei wählen, d.h. es gibt für die erste Zeile zwei Möglichkeiten, für die zweite, dritte und vierte ebenso. Insgesamt kann man also 2^4=16 unterschiedliche Wahrheitstafeln finden. Jede davon kann man als binären Junktor betrachten, auch wenn nicht unbedingt jede einen Namen oder ein Symbol haben muss. [Neben ∧, ∨, ⇒ und ⇔ werden auch das verneinte Und (NAND) und das
exklusive Oder (XOR) häufiger benutzt.]

weitere Fragen 

Zu Teil I, Ungleichung zw. arithm. und geom. Mittel  

Frage: Geometrisches und harmonisches Mittel Frage - Probieren zeigt: Das geometrische Mittel (x+y)/2 ist immer größer als das harmonische Mittel sqrt(x)*sqrt(y). Wie kann man zeigen, dass dem allgemein so ist?

Antwort: Das erste Mitte (x+y)/2 ist das arithmetische Mittel von x und y; das zweite Mittel sqrt(x)*sqrt(y) das geometrische Mittel. Für Ungleichungen zwischen den Mitteln sehen Sie bitte im Buch auf S.312 und Aufg. 35.1.
Für den Spezialfall von zwei Werten kann man die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel einfach beweisen. Starten Sie mit (sqrt(x) - sqrt(y))^2 größergleich 0 für alle x,y größergleich null. Anwenden der binomischen Formel und Umstellen liefert sofort die gewünschte Ungleichung.

Zu: Kap.5, Komplexe Funktion 

Frage: Wenn eine komplexe Funktion f(z), also eine Funktion, die von einer komplexen Variablen z = a + i*b abhängt, gegen 0 bzw. gegen unendlich gehen soll, was passiert dann mathematisch anschaulich im "Innern" der Funktion mit Real- und Imaginärteil?

Antwort: Ich verstehe Ihre Frage nicht genau, könnte mir aber vorstellen, dass die Ausführungen oben "zu Kap.5 komplexe Zahlen" auch Ihre Frage zumindest teilweise beantworten.

Zu S. 71 Mittelwerte 

Frage: Als Maß für die Höhe des Temperaturniveaus, auf dem sich ein Wärmedurchgang abspielt, verwendet man das geometrische Mittel sqrt(T1*T2) der beiden Temperaturen T1 und T2, mit T2 > T1. Warum würde hier das arithmetische Mittel (T1+T2)/2 keinen Sinn machen? irreversibler Entropiestrom/(Wärmedurchgangskoeffizient*Austauschfläche)= (T2 – T1)^2/sqrt(T1*T2)

Antwort: Die Frage, welcher Mittelwert bei der Modellierung eines physikalischen oder technischen Sachverhalts sinnvoll verwendet werden kann, ist nicht a priori durch rein mathematische Überlegungen zu beantworten, sondern nur durch die konkrete Modellierung. Das heißt, durch die Herleitung der von Ihnen genannten Gleichung ergibt sich der Nenner sqrt(T1*T2) und somit kann man diesen Sachverhalt sinnvoll durch ein "gemitteltes" Temperaturniveau T_{eff} = sqrt(T1*T2) beschreiben. Dies ist ganz analog zu den verschiedenen Geschwindigkeitsmitteln beikonstantem Weg bzw. konstanter Zeit, nur dass bei der Geschwindigkeit die Modellierungsgleichung ( v = s/t) sehr einfach ist, in Ihrem Fall sind die zugrunde liegenden Gleichungen komplizierter.

Thema - Definition der Grundrechenarten als zweistellige Verknüpfungen 

Frage: Ich bin sehr an einem grundlegenden Verständnis des axiomatischen Aufbaus der Mathematik interessiert und studiere momentan Nanostrukturtechnik im ersten Semester. Dort haben wir die reellen Zahlen allerdings nicht zu meiner Zufriedenheit axiomatisch eingeführt sondern lediglich festgestellt dass diese einen geordneten Körper bilden da die Körperaxiome, die Ordnungsaxiome und das Supremumsaxiom für diese gelten.All diese Axiome setzen allerdings bereits eine festgelegt Definition der Grundrechenarten vorraus und daher hat es mich sehr gefreut in ihrem Buch zu lesen dass die Grundrechenarten als Abbildung aufgefasst werden können. Das genannte Beispiel für die Addition war dann allerdings ernüchternd da mir die Abbildungsvorschrift rekursiv vorkommt. Die Addition wird definiert als y+x. Bedeutet das, dass man die Grundrechenarten nicht durch Axiome beschreiben kann? Und wenn doch wie?

Antwort. Das Werk richtet sich zuvorderst an die Anwender der Mathematik, daher sind wir auf die axiomatische Definition der Grundrechenarten nicht eingegangen. Sie finden die axiomatische Definition der Grundrechenarten für die natürlichen Zahlen (inkl. deren axiomatischen Definition) ausführlich in dem Kapitel 3.1 "Peano-Arithmetik" des Werks Hoffmann, Grenzen der Mathematik. Sobald die Grundrechenarten auf den natürlichen Zahlen definiert sind, kann man über gewisser Äquivalenzklassenbildungen die ganzen, rationalen sowie reellen Zahlen konstrurieren und zeigen, dass sich die Grundrechenarten auf diese Zahlbereiche in wohldefinierter Weise übertragen lassen.

Zu Kap..3 fehlende Hinweise, Lösungen und Lösungswege  

Frage - Mir ist aufgefallen, dass es zu den Aufgabe 3.14 und 3.15 im Buch keine Lösungswege im Lösungsblatt existieren. Es scheint so als wurden diese Aufgaben nachträglich ins Buch eingefügt, denn die restlichen Hinweise, Lösungen und Lösungswege sind ab Aufgabe 3.14 um zwei Aufgaben verschoben (z.B. findet man die Lösung von Aufgabe 3.16 im Buch auf dem Lösungsblatt unter der Lösung von Aufgabe 3.14 usw.). Die Reihenfolge der Lösungen im Buch stimmen. Dadurch gibt es auch 36 Aufgaben aber nur 34 Hinweise, Lösungen und Lösungswege im Lösungsblatt. Die zusätzlichen Aufgaben 3.14 und 3.15 die im Buch enthalten sind, existieren erst gar nicht nicht im Zusatzmaterial.

Antwort. Sie haben recht; dies ist ein Fehler in der 1. Auflage, die in der 2. Auflage behoben ist. (Die pdfs zn den Lösungen stehen ab Februar 2012, wenn das Arbeitsbuch zur 2.A. lieferbar ist, online.) Vielen Dank für Ihren Hinweis. Wir bitten den Fehler zu entschuldigen.

Zu Seite137 - Darstellung elektr. Schaltkreis  

Frage - Die Abbildung von der Reihenschaltung aus Kondensator und Spule ist nicht ganz korrekt. Ein Kondensator wird z.B. mit zwei, gleich langen Strichen abgebildet ( --| |-- ). Die Darstellung von Z1 lässt eher auf eine Spannungsquelle schließen und nicht auf einen Kondensator. Die Darstellung der Spule Z2 scheint mir einleuchtend, doch normgerecht ist diese auch nicht. Viel Lob für das ansprechende und super Buch möchte ich aber nicht vergessen zu erwähnen, weiter so ;)

Antwort: Vielen Dank für die Anregung. Sie haben natürlich recht. Wir werden in evtl. folgenden Auflagen auf eine normgerechte Darstellung achten (auch im Differenzialgleichungs-Kapitel).

zu Kap. 5: Rechnung Seite 127/129 

Frage: Beim Rechenweg zur Lösung der Gleichung z²=a+ib auf Seite 127/129 kann ich den Rechenschritt nach den beiden Bedingungen für a und b nicht ganz verstehen. Wie kommt man auf (x2 + y2)2? Die Zeile rückwärts gerechnet ist das logisch, aber wie kommt man "vorwärts" auf die Zeile und warum macht man diesen Schritt?

Antwort:
a) Um Ihre Frage direkt zu beantworten: Da man x2 - y2 bereits kennt, sucht man x2 + y2, um daraus dann einfach x2 und y2 zu berechnen. Das Quadrat von x2 + y2 zu betrachten ist zielführend, da man dann Umformungen vornehmen kann. Sie haben aber recht, diese Lösung muss man gewissermaßen sehen. Es geht aber auch anders:
b) Lösen Sie einfach die Gleichung 2xy = b nach z.B. y auf und setzen in die Gleichung davor ein. Sie erhalten dann (nach Durchmultiplizieren mit dem Nenner) eine biquadratische Gleichung für x, also eine (reelle) quadratische Gleichung für x2, die Sie mit quadratischer Ergänzung oder der Lösungsformel direkt lösen können.

zu Kap.4, 4.2, Polynome, S.97  

Frage: Es geht um die erste "Rechnung" auf S.97. "Allgemein erhalten wir für das Produkt zweier beliebiger Polynome..." Bei der ersten Umformung kann ich durch einsetzten von Werten noch nachvollziehen, dass die Umformung richtig ist, verstehe aber nicht wie man selber auf diese Umformung kommen könnte. Die zweite Umformung verstehe ich überhaubt nicht.

Antwort: Ich würde Ihnen empfehlen, die Rechnung an einem einfachen Fall (z.B. m=2 und n=2) explizit nachzuvollziehen. Besonders übersichtlich wird es, wenn Sie sich ein (i.A. rechteckiges) Schema zeichnen, mit in Spalte i alle Produkte, die von dem Term xi herrühren und in Zeile j alle Produkte, die von dem Term xj herrühren. In der Zelle ij steht dann ein Termin xi xj = xi+j.
Bei der zweiten Umformung geht es "nur" um eine andere Reihenfolge, in der die Summanden aufsummiert werden, nämlich in der vorgeschlagenen grafischen Darstellung diagonal (weil dort die selbe Potenzen stehen).

zu Kap 3, S.57, zentraler elastischer Stoß 

Frage: Ich kann der Umformung zur Ermittlung von w1 und w2 auf S.57 leider nicht folgen. Bis zur Substitution komm ich noch mit, danach kann ich dem nicht mehr folgen. Ich versteh auch nicht, warum die Faktoren 1/2 verschwinden.

Antwort: Der Faktor 1/2 ist einfach deshalb verschwunden, weil man mit 2 durchmultipliziert hat.
Die quadratische Gleichung liefert zwei Lösungen, die Energie- und Impulssatz gleichzeitig erfüllen, nämlich einerseits w_1=v_1, also die Situation vor dem Stoß, andererseits die im Text angegebene Lösung, die die Situation nach dem Stoß beschreibt. Die Ausdrücke werden allerdings zwischendurch etwas unhandlich.
Alternativ kann man folgende Vorgehensweise anwenden, die eleganter ist: Man schreibt den Energiesatz in der Form M_1(v_1^2-w_1^2)=M_2(w_2^2-v_2^2), faktorisiert nach der dritten binomischen Formel [a^2-b^2 = (a-b)(a+b)] und kann, indem dem den Impulssatz in der Form M_1(v_1-w_1)=M_2(w_2-v_2) einsetzt, die Gleichung auf die Form M_2(w_2-v_2)(v_1+w_1)=M_2(w_2-v_2)(w_2+v_2) bringen.
Für den Fall w_2 ungleich v_2 (wenn man also gerade die Situation vor dem Stoß ausschließt) kann man die Gleichung durch M_2(w_2-v_2) dividieren und erhält v_1+w_1=w_2+v_2. Mit dieser Gleichung und dem Impulssatz hat man nun nur noch ein System von zwei linearen Gleichungen zu lösen.

zu Kap.3, Rechentechnik Aufg. 3.19/3.21 

Frage: Im Kapitel 3 bei der Aufgabe 3.19 haben Sie in der Lösung, "11 • (11^n+1 + 12^2n−1)+133 • 12^2n−1" stehen. Meine Frage ist, warum man da einfach 133 multipliziert hat und wie es dazu kommt. Könnten Sie mir da ein Zwischenschritt zeigen oder erklären bitte.

Antwort: Der Zwischenschritt ist die Umformung von 12^{2n+1} = 12^2 • 12^{2n-1} = (11 + 133) • 12^{2n-1}.

Zu Kap. 5, Seite 140: Lösung des zweiten Beispiels z^6-(3+i)z^3+2+2i=0 

Frage: Wie erhält man aus dem Ausdruck z^3=2^(1/3)*(cos(π/4)+i sin(π/4)) die restlichen fünf Lösungen der Gleichung?

Antwort: Bitte sehen Sie das Vorgehen in der Vertiefung auf S.138. Das didaktische Vorgehen ist hier leider nicht ganz optimal; eigentlich sollte man die Vertiefung nicht benötigen für das Verständnis des Haupttextes. Wir haben dies für eine evtl. 3. Auflage notiert.

Thema: Logik. Mengenlehre und Abbildungen 

Frage: Liebe Autoren, die Logik ist neben der Mengenlehre ist wahrscheinlich das unterste Stockwerk des Gebäudes der Mathematik, also eine Grundlagendisziplin. Neben der Mathematik findet die Logik aber auch in der Philosophie oder der Linguistik Anwendung. Gehört die Logik also nun zur Mathematik oder muss man diese als etwas Eigenes sehen? Ich weiß, das sind mehr philosphische als mathematische Fragestellungen. Ich bitte sie darum ihre persönliche Meinung. Besonders interessiert mich dabei, auf welcher Basis man Grundprinzipien der Mathematik z. B. Grundprinzip der Logik oder Regeln des Definierens festlegt?

Antwort: Vielen Dank für Ihre Frage, die nur schwierig hier in der Kürze zu beantworten ist. Sehen Sie bitte (insbesondere zu Ihrer letzten Frage) die Spezialliteratur, z.B. Ebbinghaus, Einführung in die mathematische Logik, und Hoffmann, Grenzen der Mathematik. Indbesondere das letztgenannte Werk bietet Ihnen eine Fülle von ansprechend aufbereiteter und gut verständlicher Information, wenn Sie an Grundlagenfragen in der Mathematik interessiert sind.

Thema - Zu Lösungsweg 3.23 

Können Sie vielleicht genauer erläutern wie man von vorletzten Schritt auf die Lösung kommt . Was genau passiert mit der Summe in der Mitte? (Summe 1) + 2(n+1)*(Summe 2) + (n+1)^2

Antwort: Dies ist die binomische Formel. Die von Ihnen zitierte Zeile lautet etwas genau:
(Summe 1)^2 + 2(n+1)*(Summe 1) + (n+1)^2, also a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2.

zu Kap. 2 bzw. 4: Unterschied zwischen Abbildungen und Funktionen 

Gibt es einen Unterschied zwischen Abbildungen und Funktionen? In Kap. 2 wird der Begriff „Abbildung“ eingeführt, in Kap. 4 ist dann von „Funktionen“ die Rede, die irgendwie auch Abbildungen sind. Sind die beiden Begriffe gleichwertig?

Antwort:
„Abbildung“ ist der Überbegriff, wo noch ganz allgemein von einer Definitions- in eine Wertemenge abgebildet wird. Je nachdem, um welche Mengen es sich dabei handelt, sind verschiedene Präzisierungen bzw. Einschränkungen üblich, beispielsweise:
- Funktion (siehe Kap. 4) für die Abbildung aus einem Zahlenkörper in einen Zahlenkörper,
- Folge (siehe Kap. 6) für die Abbildung von den natürlichen Zahlen in eine Menge, wobei hier oft noch genauer unterschieden wird, z.B. Zahlenfolge für die Abbildung von N in einen Zahlenkörper, oder Funktionenfolge für die Abbildung von N in einen Funktionenraum,
- Operator (siehe Kap. 31) für die Abbildung von einem Funktionenraum in einen Funktionenraum,
- Funktional (siehe Kap. 31) für die Abbildung von einem Funktionenraum in einen Zahlenkörper.

zu Aufgabe 3.15 

Frage: Reicht als Beweis auch die Folgerung von a/(a+b) zu c/(c+d) mittels Einsetzungsverfahren? Also mit der Voraussetzung umgeformt (a=cb/d) und eingesetzt?

Antwort: Ja, Sie können die Gleichheit auch durch Einsetzen beweisen.

zu Aufg. 3.24 

Frage: Kann man den Induktionsanfang nicht auch bei n=0 setzen?

Antwort: Sie können den Induktionsanfang auch bei n=0 setzen, müssen dabei dann beachten, dass das Produkt über eine leere Indexmenge definitionsgemäß 1 ist und die Summe über eine leere Indexmenge definitionsgemäß 0 ist.

zu Aufg. 3.22 

Frage: Ich bin auf den expliziten Ausdruck für p_n(x): Produktzeichen von k=0 bis n-1 von (1+x^(2^k)) gekommen und konnte ihn auch via Induktion beweisen. Ist das richtig?Kann man das auch so "stehen lassen"?

Antwort: Der Ausdruck ist richtig, allerdings ist deutlich weniger explizit als der in der Lösung angegebene (was deutlich wird, wenn man konkret versucht, ein p_n hinzuschreiben). Daher ist der in der Lösung angegeben zu bevorzugen. (Die grundsätzliche Frage, wann ein Ausdruck als "einfacher" anzusehen ist als ein inhaltlich äquivalenter ist ein schwieriger, es gibt hierzu unterschiedliche Ansatzpunkt und sicher nicht immer einen Konsens unter Mathematikern. Bei dem Ausdruck zur Lösung von Aufg.3.22 dürfte allerdings Konsens herrschen, dass der im Buch angegebene der einfachere ist.)

"Mathematik" 2. Auflage, Nachdruck 2013, S. 3, linke Spalte, 8. Absatz  

Frage: Es muss doch wohl heißen r = pv / M anstatt r = pv . M, oder? Bitte um Nachsicht, wenn ich mich irre, aber ich habe mich seit Jahrzehnten nicht mehr mit Mathematik beschäftigt!

Antwort: Es ist so richtig, wie es gedruckt ist. Setzen Sie die Definition von x_n in Gleichung (1.1) ein, multiplizieren Sie die Gleichung auf beiden Seiten mit M und vergleichen Sie dann mit der darüberstehenden freistehenden Gleichung.