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Physics - Theoretical, Mathematical & Computational Physics | Mathematischer Einführungskurs für diePhysik

Mathematischer Einführungskurs für diePhysik

7., durchgesehene Aufl. 1993, 343S.

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  • Über dieses Lehrbuch

Die mathematischen Grundlagen der physikalischen Einführungsvorlesungen für Studenten der Physik, Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften Aus dem Inhalt: 1. Vektoren - Definition von Vektoren - Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen - Das Innere Produkt von Vektoren - Koordinatentransformationen - Matrizen - Determinanten - Das Äußere Produkt von Vektoren - Mehrfache Vektorprodukte 2. Vektorfunktionen - Vektorwertige Funktionen - Ableitung vektorwertiger Funktionen - Raumkurven 3. Felder - Physikalische Felder - Partielle Ableitungen - Gradient - Divergenz - Rotation - Der Vektor-Differentialoperator 4. Integration - Physikalische Motivation - Das Integral über Funktionen - Methoden zur Berechnung von Integralen - Uneigentliche Integrale - Parameterintegrale - Die delta-Funktion 5. Vektorintegration - (Gewöhnliches) Integral über Vektoren - Kurvenintegrale - Flächenintegrale - Volumenintegrale 6. Integralsätze - Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen - Der Gaußsche Satz - Partielle Integration mittels Gaußschem Satz - Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz - Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurvenintegralen - Der Stokessche Satz - - Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz - Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen 7. Krummlinige Koordinaten - Lokale Koordinatensysteme - Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen - Physikalische Motivation - Lösen von Differentialgleichungen - Trennung der Variablen - Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung - Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung - Geometrische Methoden - Chaos - Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen) - Übungen zum Selbsttest: Differentialgleichungen 9. Randwertprobleme - Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz - Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten - Wirbel- und quellenfreie Ve

Content Level » Upper undergraduate

Verwandte Fachbereiche » Angewandte Mathematik - Theoretische, mathematische und Computerphysik

Inhaltsverzeichnis 

1. Vektoren.- 1.1. Definition von Vektoren.- 1.1.1. Skalare.- 1.1.2. Vektoren.- 1.1.2.1. Vorläufiges.- 1.1.2.2. Bezugssysteme.- 1.1.2.3. Komponenten.- 1.1.2.4. Koordinatentransformationen.- 1.1.2.5. Vektordefinition.- 1.1.3. Tensoren.- 1.2. Addition von Vektoren und Multiplikation mit Zahlen.- 1.2.1. Addieren und Subtrahieren.- 1.2.2. Übungen zum Selbsttest: Vektoraddition.- 1.2.3. Multiplikation von Vektoren mit Zahlen.- 1.2.4. Komponentendarstellung der Vektoren.- 1.2.4.1. Einheitsvektoren.- 1.2.4.2. Komponenten.- 1.2.4.3. Umrechnung zwischen Komponenten- und Pfeildarstellung.- 1.2.5. Rechenregeln in Komponentendarstellung.- 1.2.5.1. Addition und Subtraktion.- 1.2.5.2. Multiplikation mit Zahlen.- 1.2.5.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.2.6. Übungen zum Selbsttest: Vektoralgebra.- 1.3. Das Innere Produkt von Vektoren.- 1.3.1. Definition.- 1.3.2. Eigenschaften des Inneren Produktes.- 1.3.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.3.4. Algebraische Definition des Vektorraumes.- 1.3.5. Übungen zum Selbsttest: Inneres Produkt.- 1.4. Koordinatentransformationen.- 1.4.1. Die Transformationsmatrix.- 1.4.1.1. Beschreibung einer Koordinatendrehung.- 1.4.1.2. Zuordnung von Drehungen und Matrizen.- 1.4.1.3. Die Determinante der Drehmatrix.- 1.4.2. Die Transformationsformeln für Vektoren.- 1.4.3. Beispiele zu übenden Erläuterung.- 1.4.4. Die Transformationsformeln für Tensoren.- 1.4.5. Übungen zum Selbsttest: Koordinatentransformationen.- 1.5. Matrizen.- 1.5.1. Definitionen.- 1.5.2. Multiplikation von Matrizen.- 1.5.3. Inverse Matrizen.- 1.5.4. Matrizen – Tensoren – Transformationen.- 1.5.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.5.6. Übungen zum Selbsttest: Matrizen.- 1.6. Determinanten.- 1.6.1. Definition.- 1.6.2. Eigenschaften von Determinanten.- 1.6.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.6.4. Übungen zum Selbsttest: Determinanten.- 1.7. Das Äußere Produkt von Vektoren.- 1.7.1. Definition.- 1.7.2. Eigenschaften des Äußeren Produktes.- 1.7.3. Komponentendarstellung des Äußeren Produktes, Transformationsverhalten.- 1.7.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.7.5. Übungen zum Selbsttest: Äußeres Produkt.- 1.8. Mehrfache Vektorprodukte.- 1.8.1. Grundregeln.- 1.8.2. Spatprodukt dreier Vektoren.- 1.8.3. Entwicklungssatz für 3-fache Vektorprodukte.- 1.8.4. n-fache Produkte.- 1.8.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 1.8.6. Übungen zum Selbsttest: Mehrfachprodukte.- 2. Vektorfunktionen.- 2.1. Vektorwertige Funktionen.- 2.1.1. Definition.- 2.1.2. Parameterdarstellung von Raumkurven.- 2.2. Ableitung vektorwertiger Funktionen.- 2.2.1. Definition der Ableitung.- 2.2.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 2.2.3. Rechenregeln für die Vektordifferentiation.- 2.2.4. Übungen zum Selbsttest: Ableitung von Vektoren.- 2.3. Raumkurven.- 2.3.1. Bogenmaß und Tangenten-Einheitsvektor.- 2.3.2. Die Normale.- 2.3.3. Die Binormale.- 2.3.4. Frenetsche Formeln für das begleitende Dreibein.- 2.3.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 2.3.6. Übungen zum Selbsttest: Raumkurven.- 3. Felder.- 3.1. Physikalische Felder.- 3.1.1. Allgemeine Definition.- 3.1.2. Skalare Felder.- 3.1.3. Vektor-Felder.- 3.1.4. Übungen zum Selbsttest: Darstellung von Feldern.- 3.2. Partielle Ableitungen.- 3.2.1. Definition der partiellen Ableitung.- 3.2.2. Beispiele – Rechenregeln – Übungen.- 3.2.3. Die Kettenregel.- 3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Partielle Ableitungen.- 3.3. Gradient.- 3.3.1. Richtungsableitung.- 3.3.2. Definition des Gradienten.- 3.3.3. Interpretation und Rechenregeln.- 3.3.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 3.3.5. Taylorentwicklung für Felder.- 3.3.6. Übungen zum Selbsttest: Der Gradient.- 3.4. Divergenz.- 3.4.1. Definition der Divergenz von Vektorfeldern.- 3.4.2. Beispiele und Rechenregeln.- 3.4.3. Interpretation als lokale Quellstärke.- 3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Die Divergenz.- 3.5. Rotation.- 3.5.1. Definition der Rotation von Vektorfeldern.- 3.5.2. Interpretation als lokale Wirbelstärke.- 3.5.3. Eigenschaften und Rechenregeln der Operation rot.- 3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 3.5.5. Übungen zum Selbsttest: Die Rotation.- 3.6. Der Vektor-Differentialoperator $$\overrightarrow \nabla $$ (Nabla).- 3.6.1 Formale Zusammenfassung der Vektor-Differentialoperationen durch $$\overrightarrow \nabla $$ (Nabla).- 3.6.2. Zusammenfassende Übersicht der Eigenschaften von $$\overrightarrow \nabla $$ (Nabla).- 3.6.3. Übungen zum Selbsttest: Der Nabla-Operator.- 4. Integration.- 4.1. Physikalische Motivation.- 4.2. Das Integral über Funktionen.- 4.2.1. Definition des (bestimmten) Riemann-Integrals.- 4.2.2. Eigenschaften des bestimmten Integrals.- 4.2.3. Übungen zum Selbsttest: Riemannsummen.- 4.2.4. Das unbestünmte Integral.- 4.2.5. Einfache Integraltabelle.- 4.2.6. Übungen zum Selbsttest: Integrale.- 4.3. Methoden zur Berechnung von Integralen.- 4.3.1. Substitution.- 4.3.2. Partielle Integration.- 4.3.3. Übungen zum Selbsttest: Substitution, partielle Integration.- 4.3.4. Integral-Funktionen.- 4.3.5. Numerische Bestimmung von Integralen.- 4.4. Uneigentliche Integrale.- 4.4.1. Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen.- 4.4.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 4.4.3. Singuläre Integranden.- 4.4.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 4.4.5. Übungen zum Selbsttest: Uneigentliche Integrale.- 4.5. Parameterintegrale.- 4.5.1. Differentiation eines Parameterintegrals.- 4.5.2. Integration von Parameterintegralen.- 4.5.3. Uneigentliche Parameterintegrale.- 4.5.4. Übungen zum Selbsttest: Parameterintegrale.- 4.6. Die ?-Funktion.- 4.6.1. Heuristische Motivation.- 4.6.2. Definition der ?-Funktion.- 4.6.3. Darstellung durch „glatte“ Funktionen.- 4.6.4 Praktischer Umgang.- 4.6.5. Übungen zum Selbsttest: ?-Funktion.- 5. Vektorintegration.- 5.1. (Gewöhnliches) Integral über Vektoren.- 5.1.1. Definition.- 5.1.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.1.3. Übungen zum Selbsttest: Integral über Vektoren.- 5.2. Kurvenintegrale.- 5.2.1. Definition.- 5.2.2. Verfahren zur Berechnung.- 5.2.3. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.2.4. Kurvenintegrale über Gradientenfelder: Unabhängigkeit vom Weg.- 5.2.5. Wirbelfreiheit als Kriterium.- 5.2.6. Beispiel.- 5.2.7. Kurvenintegrale mit anderem Vektorcharakter: Skalare Felder, Vektorprodukte.- 5.2.8. Übungen zum Selbsttest: Kurvenintegrale.- 5.2.9. Das Vektorpotential.- 5.3. Flächenintegrale.- 5.3.1. Definition.- 5.3.2. Beschreibung von Flächen im Raum.- 5.3.2.1. Kartesische Parameter.- 5.3.2.2. Zylinderkoordinaten.- 5.3.2.3. Kugelkoordinaten.- 5.3.2.4. Übungen zum Selbsttest: Krummlinige Koordinaten.- 5.3.2.5. Flächenelemente.- 5.3.3. Doppelintegrale.- 5.3.3.1. Definition.- 5.3.3.2. Iterierte Integrale.- 5.3.3.3. Übungen zum Selbsttest: Doppelintegrale.- 5.3.4. Wechsel der Variablen.- 5.3.4.1. Parametertransformation.- 5.3.4.2. Die Funktionaldeterminante.- 5.3.4.3. Die Transformation von Flächenelementen.- 5.3.4.4. Übungen zum Selbsttest: Variablentransformation.- 5.3.5. Berechnung von Flächenintegralen.- 5.3.5.1. Zusammenfassung der Formeln.- 5.3.5.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.3.5.3. Flächenintegrale in Parameterdarstellung.- 5.3.5.4. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.3.6. Übungen zum Selbsttest: Flächenintegrale.- 5.4. Volumenintegrale.- 5.4.1. Definition.- 5.4.2. Dreifachintegrale.- 5.4.3. Wechsel der Variablen.- 5.4.3.1. Funktionaldeterminante.- 5.4.3.2. Transformation von Volumenelementen.- 5.4.4. Vektorielle Volumenintegrale.- 5.4.5. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 5.4.6. Übungen zum Selbsttest: Volumenintegrale.- 6. Integralsätze.- 6.1. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Flächenintegralen.- 6.1.1. Integraldarstellung von div.- 6.1.2. Integraldarstellung von $$\overrightarrow \nabla $$ (Nabla) allgemein.- 6.2. Der Gaußsche Satz.- 6.2.1. Herleitung und Formulierung.- 6.2.2. Beispiele und Erläuterungen.- 6.2.3. Allgemeine Form des Gaußschen Satzes.- 6.2.4. Der Gaußsche Satz in D Dimensionen.- 6.3. Partielle Integration mittels Gaußschem Satz.- 6.3.1. Methode.- 6.3.2. Beispiele.- 6.3.3. Der Greensche Satz.- 6.4. Übungen zum Selbsttest: Gaußscher Satz.- 6.5. Die Darstellung des Nabla-Operators durch den Limes von Kurvenintegralen.- 6.5.1. Kurvenintegral-Darstellung von rot.- 6.5.2. Kurvenintegral-Darstellung von V allgemein.- 6.6. Der Stokessche Satz.- 6.6.1. Herleitung und Formulierung.- 6.6.2. Beispiele und Erläuterungen.- 6.6.3. Allgemeine Form des Stokesschen Satzes.- 6.6.4. Der Stokessche Satz in D Dimensionen.- 6.7. Übungen zum Selbsttest: Stokesscher Satz.- 6.8. Die Integralsätze in D = 4 Dimensionen.- 7. Krummlinige Koordinaten.- 7.1. Lokale Koordinatensysteme.- 7.1.1. Das Linienelement in krummlinigen Koordinaten.- 7.1.2. Krummlinig-orthogonale Koordinaten.- 7.1.3. Zylinder- und Kugelkoordinaten als Beispiele.- 7.1.4. Übungen zum Selbsttest; Krummlinig-orthogonale Koordinatensysteme.- 7.2. Differentialoperatoren in krummlinig-orthogonalen Koordinaten.- 7.2.1. grad, div, rot, & allgemein.- 7.2.2. Die Formeln in Zylinderkoordinaten.- 7.2.3. Die Formeln in Kugelkoordinaten.- 7.2.4. Übungen zum Selbsttest: Differentialoperationen in krunmilinigen Koordinaten.- 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 8.1. Physikalische Motivation.- 8.2. Lösen von Differentialgleichungen.- 8.3. Trennung der Variablen.- 8.3.1. Verfahren.- 8.3.2. Beispiele zur übenden Erläuterung.- 8.3.3. Separable Differentialgleichungen.- 8.4. Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung.- 8.5. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung.- 8.5.1. Homogene Gleichungen.- 8.5.2. Gekoppelte homogene Differentialgleichungen (N Variable).- 8.5.3. Inhomogene Differentialgleichungen.- 8.6. Geometrische Methoden.- 8.7. Chaos.- 8.8. Iterative Lösungsverfahren (Algorithmen).- 8.8.1. Euler-Cauchysches Polygonzugverfahren.- 8.8.2. Integralgleichungsverfahren.- 8.8.3. Praxis iterativer Verfahren.- 8.9. Übungen zum Selbsttest; Differentialgleichungen.- 9. Randwertprobleme.- 9.1. Die Rolle der Randbedingungen; Eindeutigkeitssatz.- 9.2. Bestimmung eines wirbelfreien Feldes aus seinen Quellen und Randwerten.- 9.2.1. Feld einer Ladungsverteilung im unendlichen Raum.- 9.2.2. Feld einer Ladungsverteilung bei endlichem Rand; Greensche Funktionen.- 9.3. Wirbel- und quellenfreie Vektorfelder.- 9.4. Bestimmung eines quellenfreien (inkompressiblen) Feldes aus seinen Wirbeln.- 9.4.1. Wirbelfeld im unendlichen Raum.- 9.4.2. Wirbelfeld im endlichen Bereich.- 9.5. Der (Helmholtzsche) Hauptsatz der Vektoranalysis.- 9.6. Vektordifferentialgleichungen.- 9.6.1. Elektromagnetische Felder.- 9.6.1.1. Statistische Felder.- 9.6.1.2. Feldgetriebene Ströme in Leitern.- 9.6.1.3. Elektromagnetische Wellen.- 9.6.2. Elastische Körper.- 9.6.3. Flüssigkeitsströmungen.- 9.6.4. Reduktion der Vektorpotentialgleichung auf eine Amplitudengleichung.- 9.6.5. Zusammenfassung in Darstellungssätzen.- Lösungen der Übungen zum Selbsttest.- Kleine Literaturauswahl.

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