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Mathematics - Geometry & Topology | Einführung in die Symplektische Geometrie

Einführung in die Symplektische Geometrie

Berndt, Rolf

1998, XII, 185S.

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Buchhandelstext
Die symplektische Geometrie ist ein derzeit sehr aktives Gebiet, auf dem viele verschiedene Zweige der Mathematik zusammenwirken, insbesondere Differentialgeometrie, Differentialgleichungen, komplexe Analysis und Darstellungstheorie. Sie ist, zugleich parallel und komplementär zur Riemannschen Geometrie, Grundlage für die Beschreibung des Hamiltonformalismus in der klassischen Mechanik und von Quantisierungsprozessen in der Quantenmechanik und u.a. für das Studium gewisser Singularitäten bei der Quotientenbildung symplektischer und Kählerscher Mannigfaltigkeiten sowie für die Theorie der Siegelschen Modulfunktionen und Abelschen Varietäten.

Inhalt
Einige Aspekte der Theoretischen Mechanik - Symplektische Algebra - Symplektische Mannigfaltigkeiten - Hamiltonsche Vektorfelder und Poissonklammern - Die Impulsabbildung - Quantisierung - Anhang

Zielgruppe
Studenten der Mathematik und der Physik ab dem 5. Semester.

Über den Autor/Hrsg
Prof. Dr. Rolf Berndt ist am Mathematischen Seminar der Universität Hamburg tätig.

Content Level » Upper undergraduate

Stichwörter » Impulsabbildung - Mannigfaltigkeiten - Symplektische Algebra - Vektorfelder - theoretische Mechanik

Verwandte Fachbereiche » Geometrie & Topologie

Inhaltsverzeichnis 

0 Einige Aspekte der Theoretischen Mechanik.- 0.1 Die Lagrangeschen Gleichungen.- 0.2 Die Hamiltonschen Gleichungen.- 0.3 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung.- 0.4 Eine symplektische Umdeutung.- 0.5 Die Hamiltonschen Gleichungen via Poissonklammer.- 0.6 Zur Quantisierung.- 1 Symplektische Algebra.- 1.1 Symplektische Vektorräume.- 1.2 Symplektische Abbildungen, die symplektische Gruppe.- 1.3 Unterräume symplektischer Vektorräume.- 1.4 Komplexe Strukturen in reellen symplektischen Räumen.- 2 Symplektische Mannigfaltigkeiten.- 2.1 Symplektische Mannigfaltigkeiten und ihre Morphismen.- 2.2 Der Satz von Darboux.- 2.3 Das Kotangentialbündel.- 2.4 Kähler-Mannigfaltigkeiten.- 2.5 Koadjungierte Bahnen.- 2.6 Der komplexe projektive Raum.- 2.7 Symplektische Invarianten (Ein Ausblick).- 3 Hamiltonsche Vektorfelder und Poissonklammern.- 3.1 Hilfsmittel.- 3.2 Hamiltonsche Systeme.- 3.3 Poissonklammern.- 3.4 Kontaktmannigfaltigkeiten.- 4 Die Impulsabbildung.- 4.1 Definitionen.- 4.2 Konstruktionen und Beispiele.- 4.3 Reduktion des Phasenraumes bei Vorliegen von Symmetrie.- 5 Quantisierung.- 5.1 Homogene quadratische Polynome und die 𝖘𝖑2.- 5.2 Polynome vom Grad 1 und die Heisenberggruppe.- 5.3 Polynome vom Grad 2 und die Jacobigruppe.- 5.4 Das Theorem von Groenwald — van Hove.- 5.5 Zum allgemeinen Fall.- A Anhang.- A.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Vektorbündel.- A.1.1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialräume.- A.1.2 Vektorbündel und ihre Schnitte.- A.1.3 Das Tangential- und das Kotangentialbündel.- A.1.4 Tensoren und Differentialformen.- A.1.5 Zusammenhänge.- A.2 Liegruppen und Liealgebren.- A.2.1 Liealgebren und Vektorfelder.- A.2.2 Liegruppen und invariante Vektorfelder.- A.2.3 Ein-Parameteruntergruppen und die Exponentialabbildung.- A.3 Etwas Kohomologietheorie.- A.3.1 Kohomologie von Gruppen.- A.3.2 Kohomologie von Liealgebren.- A.3.3 Kohomologie von Mannigfaltigkeiten.- A.4 Darstellungen von Gruppen.- A.4.1 Lineare Darstellungen.- A.4.2 Stetige und unitäre Darstellungen.- A.4.3 Zur Konstruktion von Darstellungen.- Symbolverzeichnis.

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