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Engineering | Einführung in die reelle Algebra

Einführung in die reelle Algebra

Knebusch, Manfred, Scheiderer, Claus

1989, X, 184S.

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  • Über dieses Lehrbuch

In den Lehrbiichern der Algebra, die heute iiblicherweise benutzt werden - als besonders einfluBreich seien genannt die Biicher von van der Waerden [vdW], Jacobson [JBA] und Lang [LaA]- wird reelle Algebra erst in spaten Kapiteln und dann in sehr bescheidenem Umfang dargeboten (bei Jacobson ist es etwas mehr). Das groBe Lehrwerk Elements de Mathematique von Bourbaki zeigt ein ahnliches Bild: In seinem Buch Algebre hnn man immerhin ein kurzes Kapitel (Chap. 6, Groupes et corps ordonnes) der reellen Algebra zurechnen. Hingegen wird der kommutativen Algebra ein eigenes Buch mit inzwischen neun Kapiteln gewidmet, wobei Bourbaki durchaus im elementaren Teil der Theorie verbleibt, nach seinen und heutigen MaBstaben nur das fiir eine Grundlegung unbedingt Notwendige zur Sprache bringt. Dementsprechend scheinen heute nicht allzu viele Algebraiker die reelle Algebra iiber­ haupt als eigenen Zweig der Algebra wahrzunehmen. Das ist nicht immer so gewesen. 1m neunzehnten Jahrhundert erlebte die relle Algebra eine Zeit der Bliite. Die Lehre von den reellen Nullstelien eines reellen Polynoms in einer Variablen stand wiihrend dieses ganzen Jahrhunderts im Zentrum des algebraischen Interesses und war ein unverzichtbarer Bestandteil jeder hoheren mathematischen Ausbildung. Davon legt noch das groBe dreibandige Lehrbuch der Algebra von Heinrich Weber [W] Zeugnis abo Obwohl Weber in seiner Forschung vorwiegend an Zahlentheorie, insbesondere komplexer Multiplikation und Klassenkorpertheorie, interessiert war und hierauf sein Lehrbuch vornehmlich ausrichtete, widmete er doch gleich im ersten Band weit iiber hundert Seiten den reellen Nullstellen reeller Polynome.

Content Level » Upper undergraduate

Stichwörter » Algebra - Handel - Mathematik - Risiko

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Inhaltsverzeichnis 

I Angeordnete Körper und ihre reellen Abschlüsse.- §1. Anordnungen und Präordnungen von Körpern.- §2. Quadratische Formen, Wittringe, Signaturen.- §3. Fortsetzung von Anordnungen.- §4. Die Primideale des Wittrings.- §5. Reell abgeschlossene Körper und ihre körpertheoretische Charakterisierung.- §6. Galoistheoretische Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper.- §7. Zählen reeller Nullstellen von Polynomen (ohne Vielfachheiten).- §8. Begriffliche Deutung der Sylvesterform.- §9. Cauchy-Index einer rationalen Funktion, Bézoutiante und Hankelformen.- §10. Eine obere Abschätzung für die Anzahl reeller Nullstellen (mit Vielfachheiten).- §11. Der reelle Abschluß eines angeordneten Körpers.- §12. Verlagerung quadratischer Formen.- II Konvexe Bewertungsringe und reelle Stellen.- §1. Konvexe Teilringe angeordneter Körper.- §2. Bewertungsringe.- §3. Ganze Elemente.- §4. Bewertungen, Ideale von Bewertungsringen.- §5. Restklassenkörper und Teilkörper von konvexen Bewertungsringen.- §6. Die Topologie von angeordneten und bewerteten Körpern.- §7. Der Satz von Baer-Krull.- §8. Reelle Stellen.- §9. Die Anordnungen von R(t),R((t)) und Quot IR {t}.- §10. Komposition und Zerlegung von Stellen.- §11. Existenz von reellen Stellen auf Funktionenkörpern.- §12. Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems und das Zeichenwechsel Kriterium.- III Das reelle Spektrum.- §1. Das Zariski-Spektrum. Affine Varietäten.- §2. Realität in kommutativen Ringen.- §3. Definition des reellen Spektrums.- §4. Konstruierbare Teilmengen und spektrale Räume.- §5. Die geometrische Situation: Semialgebraische Mengen und Filtersätze.- §6. Der Raum der abgeschlossenen Punkte.- §7. Spezialisierungen und konvexe Ideale.- §8. Das reelle Spektrum und der reduzierte Wittring eines Körpers.- §9. Präordnungen von Ringen und Positivstellensätze.- §10. Die konvexen Radikalideale zu einer Präordnung.- §11. Beschränktheit.- §12. Prüferringe und reeller Holomorphiering eines Körpers.- Literatur.- Symbolverzeichnis.- Stichwortverzeichnis.

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