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Education & Language | Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Lie-Gruppen und Lie-Algebren

Hilgert, Joachim, Neeb, Karl-Hermann

1991, X, 361S.

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  • Über dieses Lehrbuch

Die Theorie der Lie-Gruppen spielt eine wichtige Rolle in vielen Gebieten der Mathematik. Umgekehrt sind zu ihrem Verstandnis Kenntnisse aus einer Reihe von Bereichen (Differentialgeometrie, Differentialgleichungen, Algebra, Funktional­ analysis, mengentheoretische und algebraische Topologie) erforderlich. Dies macht den Einstieg fiir den Neuling schwierig. Wichtige Teile der Theorie lassen sich jedoch erheblich elementarer darstellen, wenn man die Definitionen nicht schon von Beginn an in voller Allgemeinheit gibt. Diesen Weg geht das vorliegende Buch. Es wendet sich an Studenten mit guten Kenntnissen in der linearen Algebra, der Differential­ rechnung mehrerer Variablen und der elementaren Gruppentheorie. Die benotigten Begriffe und Siitze aus der mengentheoretischen Topologie haben wir (mit Bewei­ sen) in einem Anhang zusammengestellt. Alle iibrigen Hilfsmittel werden an den Stellen eingefiihrt, an denen sie benotigt werden. Wir entwickeln den Begriff der Lie-Gruppe, indem wir von den einfach­ sten Beispielen, den Matrizengruppen ausgehen. Dann fiihren wir Uberlagerungen und Quotienten von Matrizengruppen ein und stoBen so auf die Klasse der - kal linearen Gruppen. Von ihr zeigen wir spiiter, daB sie schon alle Lie-Gruppen umfaBt. 1m Zuge dieser sukzessiven Verallgemeinerungen wird transparent, wieso man zwangsliiufig auf den Begriff der Lie-Gruppe stoBt, auch wenn man urspriinglich nur an Matrizengruppen interessiert war.

Content Level » Upper undergraduate

Stichwörter » Algebra - Gruppentheorie - Homomorphismus - Lie-Algebren - Lie-Gruppen - Matrizengruppen - lineare Algebra

Verwandte Fachbereiche » Algebra - Erziehungswissenschaft & Sprachen

Inhaltsverzeichnis 

I Lie-Gruppen.- §I.1 Die allgemeine lineare Gruppe.- §I.2 Die Exponentialfunktion.- §I.3 Abgeschlossene Untergruppen von Gl(n,IK).- §I.4 Die Campbell-Hausdorff-Formel.- §I.5 Analytische Untergruppen.- §I.6 Bogenzusammenhängende Gruppen.- §I.7 Homomorphismen.- §I.8 Fundamentalgruppen und Überlagerungen.- §I.9 Einfach zusammenhängende Überlagerungsgruppen.- II Lie-Algebren.- §II.1 Definitionen und Beispiele.- §II.2 Nilpotente und auflösbare Lie-Algebren.- §II.3 Halbeinfache Lie-Algebren.- §II.4 Erweiterungen und Moduln.- §II.5 Lie-Algebra-Kohomologie.- §II.6 Einhüllende Algebren.- §II.7 Der Satz von Ado.- III Strukturtheorie von Lie-Gruppen.- §III.1 Analytische Mannigfaltigkeiten.- §III.2 Die Lie-Algebra und die Exponentialfunktion.- §III.3 Anwendungen der Exponentialfunktion.- §III.4 Das Haarsche Maß.- §III.5 Lie-Gruppen mit kompakter Lie-Algebra.- §III.6 Halbeinfache Lie-Gruppen.- §III.7 Maximal kompakte Untergruppen, das Zentrum und Mannigfaltigkeitsfaktoren.- §III.8 Dichte analytische Untergruppen.- §III.9 Komplexe Lie-Gruppen.- §III.10 Charakterisierung der linearen Lie-Gruppen.- §III.11 Anwendung der Theorie auf die Klassischen Gruppen.- Anhang: Topologische Grundlagen.- Lehrbücher über Lie-Gruppen und Algebren.- Symbolverzeichnis.

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